Calcule a derivada direcional
, sendo dados:
, e
é o versor de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função
no ponto
na direção do vetor
, que é o versor de
. Então, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como encontrar vetores unitários e como calcular essa derivada passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função na direção de um determinado vetor. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e do vetor unitário na direção desejada. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função.
Passo 3
Vamos encontrar o gradiente da função
. Isso significa calcular as derivadas parciais de
em relação a
e a
.
Primeiro, a derivada parcial em relação a
:
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Então, o gradiente é:
Passo 4
Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto
:
Passo 5
Em seguida, precisamos do vetor unitário
na direção de
. Primeiro, encontramos o comprimento (módulo) de
:
Então, o versor
é:
Passo 6
Agora, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
Passo 7
Calculando o produto escalar:
Resposta
A derivada direcional de
no ponto
na direção de
é igual a 0.
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, com
, estando gás em um recipiente que é aquecido à taxa de
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.
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1a) ? e ?
1a)