Calcule a derivada direcional , sendo dados: , e é o versor de .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor , que é o versor de . Então, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como encontrar vetores unitários e como calcular essa derivada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função na direção de um determinado vetor. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e do vetor unitário na direção desejada. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função.

Passo 3

Vamos encontrar o gradiente da função . Isso significa calcular as derivadas parciais de em relação a e a .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto :

Passo 5

Em seguida, precisamos do vetor unitário na direção de . Primeiro, encontramos o comprimento (módulo) de :
Então, o versor é:

Passo 6

Agora, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:

Passo 7

Calculando o produto escalar:

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é igual a 0.

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