Calcule a derivada direcional partial fpartial u(x0, y0), sendo dados: f(x, y)=arctg xy,(x0, y0)=(3,3), e u é o versor de i+j.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada direcional da função no ponto na direção do vetor , que é o versor de . Então, vamos precisar entender o que é derivada direcional, como encontrar vetores unitários e como calcular essa derivada passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma derivada direcional. Ela mede a taxa de variação da função na direção de um determinado vetor. Para calcular isso, precisamos do gradiente da função e do vetor unitário na direção desejada. O gradiente é um vetor que contém todas as derivadas parciais da função.

Passo 3

Vamos encontrar o gradiente da função partial fpartial x = 11 + (xy)^2 cdot 1y = yx^2 + y^2 . Isso significa calcular as derivadas parciais de partial fpartial y = 11 + (xy)^2 cdot (-xy^2) = -xx^2 + y^2 em relação a nabla f = ( yx^2 + y^2, , -xx^2 + y^2 ) e a .
Primeiro, a derivada parcial em relação a :
Agora, a derivada parcial em relação a :
Então, o gradiente é:

Passo 4

Agora, vamos avaliar o gradiente no ponto nabla f(3, 3) = ( 33^2 + 3^2, , -33^2 + 3^2 ) = ( 318, , -318 ) = ( 16, , -16 ) :

Passo 5

Em seguida, precisamos do vetor unitário |i + j| = raiz1^2 + 1^2 = raiz2 na direção de u = ( 1raiz2, , 1raiz2 ) . Primeiro, encontramos o comprimento (módulo) de :
Então, o versor é:

Passo 6

Agora, para encontrar a derivada direcional, fazemos o produto escalar do gradiente com o vetor unitário:
partial fpartial u(3, 3) = nabla f(3, 3) cdot u = ( 16, , -16 ) cdot ( 1raiz2, , 1raiz2 )

Passo 7

Calculando o produto escalar:
partial fpartial u(3, 3) = 16 cdot 1raiz2 + (-16) cdot 1raiz2 = 16raiz2 - 16raiz2 = 0

Resposta

A derivada direcional de no ponto na direção de é igual a 0.

Exercícios relacionados