Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto P0 especificado: x = sen(pi t), y = raiz(t), z = cos(pi t), P0(raiz(2)/2, 1/2, raiz(2)/2).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações paramétricas da reta tangente a uma curva que já está definida por algumas equações paramétricas. A curva é dada por:
E o ponto específico onde queremos a tangente é . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções paramétricas, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Vamos olhar para a coordenada . Sabemos que , então:
Então, é o parâmetro que nos leva ao ponto .

Passo 3

Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto . Para isso, precisamos derivar cada uma das funções paramétricas em relação a :

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas no ponto :

Passo 5

Então, o vetor tangente no ponto é:

Passo 6

Agora, sabemos que a equação paramétrica da reta tangente pode ser escrita usando o ponto e o vetor tangente :
Onde é o parâmetro da reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são:

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