Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva dada pelas equações paramétricas, no ponto especificado: .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar as equações paramétricas da reta tangente a uma curva que já está definida por algumas equações paramétricas. A curva é dada por:
E o ponto específico onde queremos a tangente é . Vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções paramétricas, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o valor de que corresponde ao ponto . Vamos olhar para a coordenada . Sabemos que , então:
Então, é o parâmetro que nos leva ao ponto .
Passo 3
Agora, vamos encontrar o vetor tangente à curva no ponto . Para isso, precisamos derivar cada uma das funções paramétricas em relação a :
Passo 4
Vamos calcular essas derivadas no ponto :
Passo 5
Então, o vetor tangente no ponto é:
Passo 6
Agora, sabemos que a equação paramétrica da reta tangente pode ser escrita usando o ponto e o vetor tangente :
Onde é o parâmetro da reta.
Resposta
As equações paramétricas da reta tangente à curva no ponto são: