1a
Mostrar que T é um operador lincar.
T(x, y, z)=(x-y-z, x+2 y-z,-x+y-2 z)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente mostrar que é um operador linear. Isso faz parte da matéria de Álgebra Linear, onde a gente estuda funções que preservam as operações de adição e multiplicação por escalar. Para provar que é linear, precisamos verificar duas coisas:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por escalar:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos verificar a propriedade da adição. Seja u + v = (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) e T(u + v) = T(x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2) . Então:
= ( (x1 + x2) - (y1 + y2) - (z1 + z2),
Aplicando (x1 + x2) + 2(y1 + y2) - (z1 + z2), nessa soma:
-(x1 + x2) + (y1 + y2) - 2(z1 + z2) )
T(u) = (x1 - y1 - z1, x1 + 2y1 - z1, -x1 + y1 - 2z1)
T(v) = (x2 - y2 - z2, x2 + 2y2 - z2, -x2 + y2 - 2z2)
T(u) + T(v) = (x1 + x2 - y1 - y2 - z1 - z2,
Agora, vamos calcular x1 + x2 + 2y1 + 2y2 - z1 - z2, :
-x1 - x2 + y1 + y2 - 2z1 - 2z2)
Observamos que . Então, a propriedade da adição está válida!

Passo 3

Agora, vamos verificar a propriedade da multiplicação por escalar. Seja cu = (cx, cy, cz) um número real e T(cu) = T(cx, cy, cz) . Então:
= (cx - cy - cz, cx + 2cy - cz, -cx + cy - 2cz)
Aplicando T(u) = (x - y - z, x + 2y - z, -x + y - 2z) nesse escalar multiplicado:
cT(u) = (c(x - y - z), c(x + 2y - z), c(-x + y - 2z))
= (cx - cy - cz, cx + 2cy - cz, -cx + cy - 2cz)
Agora, vamos calcular :
Vemos que . Portanto, a propriedade da multiplicação por escalar também está válida!

Resposta

Como verificamos as duas propriedades necessárias, podemos concluir que é realmente um operador linear.

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