Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor em tal que, quando aplicamos a transformação linear nele, o resultado seja . Para isso, vamos usar conhecimentos de sistemas lineares e transformações lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a transformação . Ela está definida por:
Queremos encontrar que satisfaça:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:
Passo 3
Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar (x + 2y - z) - (x - y - z) = 3 - (-1) x + 2y - z - x + y + z = 4 3y = 4 y = 43 .
Subtraindo a primeira da segunda:
Passo 4
Agora que temos o valor de x - 43 - z = -1 x - z = -1 + 43 x - z = 13 x = z + 13 , vamos substituir na primeira equação para encontrar :
Passo 5
Vamos usar a terceira equação para encontrar - (z + 13) + 43 - 2z = -4 - z - 13 + 43 - 2z = -4 -3z + 1 = -4 -3z = -5 z = 53 . Substituindo e na terceira equação:
Passo 6
Agora que temos x = 53 + 13 = 63 = 2 , podemos encontrar :