Determinar o vetor u in R^3 tal que T(u)=(-1,3,-4).
T(x, y, z)=(x-y-z, x+2 y-z,-x+y-2 z)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor em tal que, quando aplicamos a transformação linear nele, o resultado seja . Para isso, vamos usar conhecimentos de sistemas lineares e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação T(x, y, z) = (x - y - z, x + 2y - z, -x + y - 2z) . Ela está definida por:
T(u) = (-1, 3, -4)
Queremos encontrar x - y - z = -1 x + 2y - z = 3 - x + y - 2z = -4 que satisfaça:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar (x + 2y - z) - (x - y - z) = 3 - (-1) x + 2y - z - x + y + z = 4 3y = 4 y = 43 .
Subtraindo a primeira da segunda:

Passo 4

Agora que temos o valor de x - 43 - z = -1 x - z = -1 + 43 x - z = 13 x = z + 13 , vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Passo 5

Vamos usar a terceira equação para encontrar - (z + 13) + 43 - 2z = -4 - z - 13 + 43 - 2z = -4 -3z + 1 = -4 -3z = -5 z = 53 . Substituindo e na terceira equação:

Passo 6

Agora que temos x = 53 + 13 = 63 = 2 , podemos encontrar :

Resposta

O vetor u = (2, 43, 53) que satisfaz é:

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