Determinar o vetor tal que .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar um vetor em tal que, quando aplicamos a transformação linear nele, o resultado seja . Para isso, vamos usar conhecimentos de sistemas lineares e transformações lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a transformação . Ela está definida por:
Queremos encontrar que satisfaça:
Isso nos dá o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Vamos resolver esse sistema passo a passo. Primeiramente, vamos subtrair a primeira equação da segunda para eliminar .
Subtraindo a primeira da segunda:

Passo 4

Agora que temos o valor de , vamos substituir na primeira equação para encontrar :

Passo 5

Vamos usar a terceira equação para encontrar . Substituindo e na terceira equação:

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar :

Resposta

O vetor que satisfaz é:

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