Sejam lambda, mu in R. Escreva equações paramétricas da reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano:
pi:l x=1-lambda-mu y=lambda+mu z=lambda

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pela origem (ponto (0,0,0)) e que é perpendicular ao plano dado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equações paramétricas de retas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser perpendicular a um plano. Se uma reta é perpendicular a um plano, o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Então, nosso primeiro passo é encontrar o vetor normal do plano pi.

Passo 3

O plano pi está dado pelas equações paramétricas:
pi:l x=1-lambda-mu y=lambda+mu z=lambda
Podemos identificar dois vetores diretores do plano tomando os coeficientes de lambda e mu:
  • Vetor u (coeficiente de lambda): (-1, 1, 1)
  • Vetor v (coeficiente de mu): (-1, 1, 0)

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano pi usando o produto vetorial desses dois vetores diretores. O vetor normal n é dado por:
n = u times v = i & j & k -1 & 1 & 1 -1 & 1 & 0
Calculando o determinante:
n = i(1 cdot 0 - 1 cdot 1) - j(-1 cdot 0 - (-1) cdot 1) + k(-1 cdot 1 - (-1) cdot 1) n = i(-1) - j(1) + k(0) n = (-1, -1, 0)
Podemos simplificar o vetor normal para (1, 1, 0) apenas invertendo os sinais.

Passo 5

Agora que temos o vetor normal do plano, sabemos que o vetor diretor da reta que queremos é paralelo a esse vetor. Como a reta deve passar pela origem, suas equações paramétricas são:
x = t y = t z = 0
Onde t é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
x = t y = t z = 0

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