Sejam . Escreva equações paramétricas da reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pela origem (ponto (0,0,0)) e que é perpendicular ao plano dado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equações paramétricas de retas e planos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser perpendicular a um plano. Se uma reta é perpendicular a um plano, o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Então, nosso primeiro passo é encontrar o vetor normal do plano .

Passo 3

O plano está dado pelas equações paramétricas:
Podemos identificar dois vetores diretores do plano tomando os coeficientes de e :
  • Vetor u (coeficiente de ):
  • Vetor v (coeficiente de ):

Passo 4

Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano usando o produto vetorial desses dois vetores diretores. O vetor normal n é dado por:
Calculando o determinante:
Podemos simplificar o vetor normal para apenas invertendo os sinais.

Passo 5

Agora que temos o vetor normal do plano, sabemos que o vetor diretor da reta que queremos é paralelo a esse vetor. Como a reta deve passar pela origem, suas equações paramétricas são:
Onde é o parâmetro.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:

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