Sejam . Escreva equações paramétricas da reta que passa pela origem e é perpendicular ao plano:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as equações paramétricas de uma reta que passa pela origem (ponto (0,0,0)) e que é perpendicular ao plano dado. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais e equações paramétricas de retas e planos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma reta ser perpendicular a um plano. Se uma reta é perpendicular a um plano, o vetor diretor da reta é paralelo ao vetor normal do plano. Então, nosso primeiro passo é encontrar o vetor normal do plano .
Passo 3
O plano está dado pelas equações paramétricas:
Podemos identificar dois vetores diretores do plano tomando os coeficientes de e :
Vetor u (coeficiente de ):
Vetor v (coeficiente de ):
Passo 4
Agora, vamos encontrar o vetor normal do plano usando o produto vetorial desses dois vetores diretores. O vetor normal n é dado por:
Calculando o determinante:
Podemos simplificar o vetor normal para apenas invertendo os sinais.
Passo 5
Agora que temos o vetor normal do plano, sabemos que o vetor diretor da reta que queremos é paralelo a esse vetor. Como a reta deve passar pela origem, suas equações paramétricas são: