Seja . linear. Considere as bases de e do . Determinar .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases de e de . Isso envolve conceitos de transformação linear, bases de vetores e matrizes de transformação. Vamos precisar entender como cada vetor da base é transformado por e depois expressar esses resultados na base .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases específicas para o espaço de entrada e para o espaço de saída. A matriz vai nos mostrar como os vetores da base são transformados e então expressos na base .
Passo 3
Nosso primeiro passo é aplicar a transformação a cada vetor da base . A base de é formada pelos vetores e . Vamos calcular e :
Passo 4
Agora, precisamos expressar os resultados e na base de . A base é formada pelos vetores , e . Isso significa que cada vetor resultante de pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.
Passo 5
Vamos começar com o primeiro vetor . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: (2 - b) + 2b + 3(-b) = -3 2 - b + 2b - 3b = -3 2 - 2b = -3 -2b = -5 b = 52 → .
Da terceira equação: → → → → .
Substituindo e na primeira equação:
Então, e .
Passo 7
Portanto, . Isso significa que as coordenadas desse vetor na base são .
Passo 8
Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor a(1,1,-1) + b(2,1,0) + c(3,0,1) = (3, 5, -2) . Queremos encontrar escalares a + 2b + 3c = 3 a + b + 0c = 5 - a + 0b + c = -2 , e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:
Passo 9
Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: (5 - b) + 2b + 3(3 - b) = 3 5 - b + 2b + 9 - 3b = 3 14 - 2b = 3 -2b = -11 b = 112 → .
Da terceira equação: → → → → .
Substituindo e na primeira equação:
Então, e .
Passo 10
Portanto, . As coordenadas desse vetor na base são .
Resposta
A matriz da transformação [T]B^A = -12 & -12 52 & 112 -52 & -52 é: