Seja . linear. Considere as bases de e do . Determinar .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases de e de . Isso envolve conceitos de transformação linear, bases de vetores e matrizes de transformação. Vamos precisar entender como cada vetor da base é transformado por e depois expressar esses resultados na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases específicas para o espaço de entrada e para o espaço de saída. A matriz vai nos mostrar como os vetores da base são transformados e então expressos na base .

Passo 3

Nosso primeiro passo é aplicar a transformação a cada vetor da base . A base de é formada pelos vetores e . Vamos calcular e :

Passo 4

Agora, precisamos expressar os resultados e na base de . A base é formada pelos vetores , e . Isso significa que cada vetor resultante de pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 5

Vamos começar com o primeiro vetor . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Da terceira equação: .
Substituindo e na primeira equação:
Então, e .

Passo 7

Portanto, . Isso significa que as coordenadas desse vetor na base são .

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor . Queremos encontrar escalares , e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: .
Da terceira equação: .
Substituindo e na primeira equação:
Então, e .

Passo 10

Portanto, . As coordenadas desse vetor na base são .

Resposta

A matriz da transformação é:

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1a
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