Seja T: R^2 R^3 T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-2 y). linear. Considere as bases A=(-1,1),(2,1) de R^2 e B=(1,1,-1),(2,1,0) cdot(3,0,1) do R^3. Determinar [T]B^A.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos pede para encontrar a matriz da transformação linear em relação às bases de e de . Isso envolve conceitos de transformação linear, bases de vetores e matrizes de transformação. Vamos precisar entender como cada vetor da base é transformado por e depois expressar esses resultados na base .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que uma transformação linear pode ser representada por uma matriz quando escolhemos bases específicas para o espaço de entrada e para o espaço de saída. A matriz vai nos mostrar como os vetores da base são transformados e então expressos na base .

Passo 3

Nosso primeiro passo é aplicar a transformação T(-1, 1) = (2*(-1) - 1, -1 + 3*1, -2*1) = (-2 - 1, -1 + 3, -2) = (-3, 2, -2) a cada vetor da base T(2, 1) = (2*2 - 1, 2 + 3*1, -2*1) = (4 - 1, 2 + 3, -2) = (3, 5, -2) . A base de é formada pelos vetores e . Vamos calcular e :

Passo 4

Agora, precisamos expressar os resultados e na base de . A base é formada pelos vetores , e . Isso significa que cada vetor resultante de pode ser escrito como uma combinação linear desses vetores.

Passo 5

Vamos começar com o primeiro vetor a(1,1,-1) + b(2,1,0) + c(3,0,1) = (-3, 2, -2) . Queremos encontrar escalares a + 2b + 3c = -3 a + b + 0c = 2 - a + 0b + c = -2 , e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 6

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: (2 - b) + 2b + 3(-b) = -3 2 - b + 2b - 3b = -3 2 - 2b = -3 -2b = -5 b = 52 .
Da terceira equação: .
Substituindo e na primeira equação:
Então, e .

Passo 7

Portanto, . Isso significa que as coordenadas desse vetor na base são .

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo para o segundo vetor a(1,1,-1) + b(2,1,0) + c(3,0,1) = (3, 5, -2) . Queremos encontrar escalares a + 2b + 3c = 3 a + b + 0c = 5 - a + 0b + c = -2 , e tais que:
Isso nos dá o sistema de equações:

Passo 9

Resolvendo o sistema:
Da segunda equação: (5 - b) + 2b + 3(3 - b) = 3 5 - b + 2b + 9 - 3b = 3 14 - 2b = 3 -2b = -11 b = 112 .
Da terceira equação: .
Substituindo e na primeira equação:
Então, e .

Passo 10

Portanto, . As coordenadas desse vetor na base são .

Resposta

A matriz da transformação [T]B^A = -12 & -12 52 & 112 -52 & -52 é:

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