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Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que o exercício está pedindo. Precisamos determinar se a função é par ou ímpar e, em seguida, calcular sua série de Fourier. Isso envolve conhecimentos de funções pares e ímpares, além de técnicas de cálculo de séries de Fourier.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é par ou ímpar. Uma função é par se para todo no domínio, e é ímpar se .
Vamos analisar :
Simplificando os intervalos:
Comparando com :
Observamos que , então a função é par.

Passo 3

Como a função é par, a série de Fourier terá apenas termos de cosseno. A série de Fourier para uma função par em um intervalo a é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
No nosso caso, o intervalo é de a , então . Vamos calcular e :
Cálculo de :
Dividimos a integral nos intervalos onde é constante:
Calculando as integrais:
Cálculo de :
As integrais de desaparecem, então:
Como a função cosseno é par ( ), temos:
Integrando:
Sabemos que , então:
Dependendo do valor de , o termo varia. Para simplificar, podemos expressar a série considerando os diferentes casos de .

Resposta

A função é par, e sua série de Fourier é dada por:

Exercícios relacionados

Justifique as seguintes propriedades envolvendo funções periódicas:
Se for periódica de período e integrável em qualquer intervalo tem-se
qualquer que seja fixado. (Ou seja, calcular integral de em qualquer intervalo de comprimento produz o mesmo valor).
Mostre que as integrais sāo nulas, quaisquer que sejam os contornos fechados contidos no domínio das funçōes e , onde:
e , e não envolve a origem.
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Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
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Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
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