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Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
f(x) = cos(x), -pi/2 < x < pi/2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função é par ou ímpar e, depois, calcular a sua série de Fourier. Para fazer isso, vamos usar conceitos de simetria de funções e a teoria de séries de Fourier, que serve para representar funções periódicas como uma soma de senos e cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se a função é par ou ímpar. Uma função é par se para todo no domínio, e é ímpar se .

Passo 3

Vamos calcular :
Como , a função é par.

Passo 4

Agora que sabemos que a função é par, sabemos que na série de Fourier só teremos termos de cosseno, pois os termos de seno correspondem a funções ímpares e serão eliminados.

Passo 5

A série de Fourier para uma função par no intervalo a é dada por:
No nosso caso, , então a fórmula fica:

Passo 6

Para encontrar os coeficientes e , usamos as seguintes fórmulas:

Passo 7

Vamos calcular :

Passo 8

Agora, vamos calcular :
Usando a identidade trigonométrica:
Temos:
Integrando:
Calculando os limites:
Sabendo que para os termos correspondentes, temos:

Resposta

A função é par, e a sua série de Fourier no intervalo é:

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