Mostre que as integrais sāo nulas, quaisquer que sejam os contornos fechados contidos no domínio das funçōes e , onde:
e , e não envolve a origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de linha é igual a zero para qualquer contorno fechado que não envolve a origem. As funções e são dadas por:
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de um contorno fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse contorno. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso, e . Então, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos calcular :
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas no lado direito do Teorema de Green:

Passo 6

Com isso, a integral dupla fica:
De acordo com o Teorema de Green, isso implica que:

Resposta

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Classifique as funções quanto a suas possíveis assíntotas como: vertical, horizontal ou não possui.
e)
Classifique as funções quanto a suas possíveis assíntotas como: vertical, horizontal ou não possui.
d)
Justifique as seguintes propriedades envolvendo funções periódicas:
Se for periódica de período e integrável em qualquer intervalo tem-se
qualquer que seja fixado. (Ou seja, calcular integral de em qualquer intervalo de comprimento produz o mesmo valor).
1b
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.