Mostre que as integrais ointC F1(x, y) d x+F2(x, y) d y sāo nulas, quaisquer que sejam os contornos fechados C contidos no domínio das funçōes F1 e F2, onde:
F1(x, y)=yx^2+y^2 e F2(x, y)=-xx^2+y^2, e C não envolve a origem.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de linha F1(x, y) = yx^2 + y^2 e F2(x, y) = -xx^2 + y^2 é igual a zero para qualquer contorno fechado que não envolve a origem. As funções e são dadas por:
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de um contorno fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse contorno. A fórmula do Teorema de Green é:
ointC P , dx + Q , dy = integral duplaD ( partial Qpartial x - partial Ppartial y ) dA
No nosso caso, e . Então, precisamos calcular as derivadas parciais e .

Passo 3

Vamos calcular Q = -xx^2 + y^2 :
partial Qpartial x = -(x^2 + y^2) - (-x)(2x)(x^2 + y^2)^2 = -x^2 - y^2 + 2x^2 (x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2 (x^2 + y^2)^2
Aplicando a regra do quociente:

Passo 4

Agora, vamos calcular P = yx^2 + y^2 :
partial Ppartial y = (x^2 + y^2) - y(2y)(x^2 + y^2)^2 = x^2 + y^2 - 2y^2 (x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2 (x^2 + y^2)^2
Aplicando a regra do quociente:

Passo 5

Agora, substituímos as derivadas no lado direito do Teorema de Green:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = x^2 - y^2 (x^2 + y^2)^2 - x^2 - y^2 (x^2 + y^2)^2 = 0

Passo 6

Com isso, a integral dupla fica:
integral duplaD 0 , dA = 0
De acordo com o Teorema de Green, isso implica que:
ointC F1(x, y) dx + F2(x, y) dy = 0

Resposta

0

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