Mostre que as integrais
sāo nulas, quaisquer que sejam os contornos fechados
contidos no domínio das funçōes
e
, onde:
e
, e
não envolve a origem.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para mostrar que a integral de linha
é igual a zero para qualquer contorno fechado
que não envolve a origem. As funções
e
são dadas por:
Vamos usar conceitos de cálculo vetorial, especificamente o Teorema de Green, para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o Teorema de Green, que relaciona uma integral de linha ao redor de um contorno fechado com uma integral dupla sobre a região delimitada por esse contorno. A fórmula do Teorema de Green é:
No nosso caso,
e
. Então, precisamos calcular as derivadas parciais
e
.
Passo 3
Vamos calcular
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 4
Agora, vamos calcular
:
Aplicando a regra do quociente:
Passo 5
Agora, substituímos as derivadas no lado direito do Teorema de Green:
Passo 6
Com isso, a integral dupla fica:
De acordo com o Teorema de Green, isso implica que: