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Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir se a função dada é par ou ímpar e, depois, calcular a série de Fourier dela. A função que temos é:
Para fazer isso, vamos precisar entender o que são funções pares e ímpares e como calcular a série de Fourier.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser par ou ímpar. Uma função
é par se
para todo
no domínio dela. Isso significa que o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Já uma função é ímpar se
para todo
, o que faz o gráfico ser simétrico em relação à origem.
Passo 3
Agora, vamos verificar se a nossa função
é par ou ímpar. Vamos calcular
e comparar com
e
.
Para
:
Nesse caso,
, o que sugere que pode ser ímpar. Mas precisamos verificar para todo o domínio.
Para
:
-
(já que ) -
-
Aqui,
, então a função não é ímpar. Além disso, também não é par porque
. Portanto, a função
não é nem par nem ímpar.
Passo 4
Como a função não é par nem ímpar, vamos calcular a série de Fourier completa, que inclui termos de cosseno e seno. A série de Fourier de uma função periódica
no intervalo
é dada por:
Onde:
-
é o termo constante. -
são os coeficientes dos cossenos. -
são os coeficientes dos senos.
Vamos calcular cada um desses coeficientes usando as fórmulas:
Passo 5
Vamos começar calculando
:
Calculando as integrais:
Somando:
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Essas integrais podem ser resolvidas por partes. Após os cálculos (que envolvem integração por partes e simplificações), obtemos:
Passo 7
Vamos calcular agora os coeficientes
:
Novamente, usando integração por partes e simplificações, obtemos:
Resposta
A função
não é nem par nem ímpar. A sua série de Fourier é dada por: