Justifique as seguintes propriedades envolvendo funções periódicas:
Se f: R R for periódica de período p e integrável em qualquer intervalo tem-se
integrala^a+p f(t) d t=integral0^p f(t) d t
qualquer que seja a in R fixado. (Ou seja, calcular integral de f em qualquer intervalo de comprimento p produz o mesmo valor).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções periódicas, que basicamente são aquelas que se repetem a cada certo intervalo. O exercício quer que a gente justifique por que, se a gente integrar uma função periódica em qualquer intervalo de comprimento igual ao período , sempre vai dar o mesmo resultado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica e como a integral se comporta quando a função se repete.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função f(t + p) = f(t) é periódica de período se, para todo , ela satisfaz:
Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento .

Passo 3

Agora, vamos pensar na integral de integrala^a+p f(t) , dt sobre um intervalo de comprimento , digamos de a :
Como é periódica com período , podemos fazer uma mudança de variável para simplificar essa integral.

Passo 4

Vamos fazer a substituição integrala^a+p f(t) , dt = integral0^p f(u + a) , du . Assim, quando , , e quando , . A derivada de em relação a é . Substituindo na integral:

Passo 5

Mas, como integral0^p f(u + a) , du = integral0^p f(u) , du é periódica de período , temos que quando é múltiplo de . Mesmo que não seja múltiplo de , a periodicidade garante que se comporta da mesma forma que . Portanto:

Resposta

Logo, para qualquer integrala^a+p f(t) , dt = integral0^p f(t) , dt , temos:
Isso mostra que a integral de uma função periódica em qualquer intervalo de comprimento igual ao período sempre será a mesma.

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