Justifique as seguintes propriedades envolvendo funções periódicas:
Se for periódica de período e integrável em qualquer intervalo tem-se
qualquer que seja fixado. (Ou seja, calcular integral de em qualquer intervalo de comprimento produz o mesmo valor).
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções periódicas, que basicamente são aquelas que se repetem a cada certo intervalo. O exercício quer que a gente justifique por que, se a gente integrar uma função periódica em qualquer intervalo de comprimento igual ao período , sempre vai dar o mesmo resultado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica e como a integral se comporta quando a função se repete.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é periódica de período se, para todo , ela satisfaz:
Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento .
Passo 3
Agora, vamos pensar na integral de sobre um intervalo de comprimento , digamos de a :
Como é periódica com período , podemos fazer uma mudança de variável para simplificar essa integral.
Passo 4
Vamos fazer a substituição . Assim, quando , , e quando , . A derivada de em relação a é . Substituindo na integral:
Passo 5
Mas, como é periódica de período , temos que quando é múltiplo de . Mesmo que não seja múltiplo de , a periodicidade garante que se comporta da mesma forma que . Portanto:
Resposta
Logo, para qualquer , temos:
Isso mostra que a integral de uma função periódica em qualquer intervalo de comprimento igual ao período sempre será a mesma.