Justifique as seguintes propriedades envolvendo funções periódicas:
Se for periódica de período e integrável em qualquer intervalo tem-se
qualquer que seja fixado. (Ou seja, calcular integral de em qualquer intervalo de comprimento produz o mesmo valor).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções periódicas, que basicamente são aquelas que se repetem a cada certo intervalo. O exercício quer que a gente justifique por que, se a gente integrar uma função periódica em qualquer intervalo de comprimento igual ao período , sempre vai dar o mesmo resultado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica e como a integral se comporta quando a função se repete.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função é periódica de período se, para todo , ela satisfaz:
Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento .

Passo 3

Agora, vamos pensar na integral de sobre um intervalo de comprimento , digamos de a :
Como é periódica com período , podemos fazer uma mudança de variável para simplificar essa integral.

Passo 4

Vamos fazer a substituição . Assim, quando , , e quando , . A derivada de em relação a é . Substituindo na integral:

Passo 5

Mas, como é periódica de período , temos que quando é múltiplo de . Mesmo que não seja múltiplo de , a periodicidade garante que se comporta da mesma forma que . Portanto:

Resposta

Logo, para qualquer , temos:
Isso mostra que a integral de uma função periódica em qualquer intervalo de comprimento igual ao período sempre será a mesma.

Exercícios relacionados

Mostre que as integrais sāo nulas, quaisquer que sejam os contornos fechados contidos no domínio das funçōes e , onde:
e , e não envolve a origem.
Classifique as funções quanto a suas possíveis assíntotas como: vertical, horizontal ou não possui.
e)
1b
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
1g
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.