Justifique as seguintes propriedades envolvendo funções periódicas:
Se
for periódica de período
e integrável em qualquer intervalo tem-se
qualquer que seja
fixado. (Ou seja, calcular integral de
em qualquer intervalo de comprimento
produz o mesmo valor).
Se
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre funções periódicas, que basicamente são aquelas que se repetem a cada certo intervalo. O exercício quer que a gente justifique por que, se a gente integrar uma função periódica
em qualquer intervalo de comprimento igual ao período
, sempre vai dar o mesmo resultado. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma função periódica e como a integral se comporta quando a função se repete.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma função periódica. Uma função
é periódica de período
se, para todo
, ela satisfaz:
Isso significa que a função se repete a cada intervalo de comprimento
.
Passo 3
Agora, vamos pensar na integral de
sobre um intervalo de comprimento
, digamos de
a
:
Como
é periódica com período
, podemos fazer uma mudança de variável para simplificar essa integral.
Passo 4
Vamos fazer a substituição
. Assim, quando
,
, e quando
,
. A derivada de
em relação a
é
. Substituindo na integral:
Passo 5
Mas, como
é periódica de período
, temos que
quando
é múltiplo de
. Mesmo que
não seja múltiplo de
, a periodicidade garante que
se comporta da mesma forma que
. Portanto:
Resposta
Logo, para qualquer
, temos:
Isso mostra que a integral de uma função periódica
em qualquer intervalo de comprimento igual ao período
sempre será a mesma.