-1D Find parametric equations and symmetric equations for the line.
6. The line through the origin and the point (1, 2, 3)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar as equações paramétricas e simétricas de uma reta. A reta em questão passa pela origem (0, 0, 0) e pelo ponto (1, 2, 3). Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e equações de reta no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. Como a reta passa pela origem e pelo ponto (1, 2, 3), o vetor diretor pode ser obtido simplesmente pelas coordenadas deste ponto. Ou seja, o vetor diretor v é (1, 2, 3).

Passo 3

Com o vetor diretor, podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas descrevem cada coordenada da reta em função de um parâmetro, geralmente denotado por t. A fórmula geral é:
Onde é um ponto da reta (no nosso caso, a origem) e (a, b, c) são as componentes do vetor diretor.

Passo 4

Aplicando os valores do nosso problema:
Simplificando, as equações paramétricas ficam:
Essas são as equações paramétricas da reta desejada.

Passo 5

Agora, vamos encontrar as equações simétricas da reta. As equações simétricas eliminam o parâmetro t e relacionam diretamente as coordenadas x, y e z. A fórmula geral é:
Novamente, usando o ponto da origem e o vetor diretor.

Passo 6

Substituindo os valores:
E simplificando, temos:
Estas são as equações simétricas da reta.

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
E as equações simétricas da reta são:

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