-1D Find parametric equations and symmetric equations for the line.
6. The line through the origin and the point
6. The line through the origin and the point
Passo 1
Vamos resolver um exercício de geometria analítica onde precisamos encontrar as equações paramétricas e simétricas de uma reta. A reta em questão passa pela origem
e pelo ponto
. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de vetores e equações de reta no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor diretor da reta. Como a reta passa pela origem e pelo ponto
, o vetor diretor pode ser obtido simplesmente pelas coordenadas deste ponto. Ou seja, o vetor diretor
é
.
Passo 3
Com o vetor diretor, podemos escrever as equações paramétricas da reta. As equações paramétricas descrevem cada coordenada da reta em função de um parâmetro, geralmente denotado por
. A fórmula geral é:
Onde
é um ponto da reta (no nosso caso, a origem) e
são as componentes do vetor diretor.
Passo 4
Aplicando os valores do nosso problema:
Simplificando, as equações paramétricas ficam:
Essas são as equações paramétricas da reta desejada.
Passo 5
Agora, vamos encontrar as equações simétricas da reta. As equações simétricas eliminam o parâmetro
e relacionam diretamente as coordenadas
,
e
. A fórmula geral é:
Novamente, usando o ponto da origem e o vetor diretor.
Passo 6
Substituindo os valores:
E simplificando, temos:
Estas são as equações simétricas da reta.
Resposta
As equações paramétricas da reta são:
E as equações simétricas da reta são: