Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando
se aproxima de 0 da expressão
. Vamos usar conhecimentos de limites e funções trigonométricas, especialmente como a tangente se comporta perto de 0. Precisaremos lembrar que
pode ser aproximada por
quando
está próximo de 0.
Passo 2
Primeiro, vamos analisar a expressão
. Podemos separar os termos para facilitar:
Isso nos dá:
Passo 3
Agora, vamos analisar cada parte separadamente.
-
quando : - Quando
se aproxima de 0, tende ao infinito, mas como pode se aproximar de 0 por valores positivos e negativos, precisamos considerar o comportamento de nesse contexto.
- Quando
-
quando : - Sabemos que
quando está perto de 0. Portanto, .
- Sabemos que
Passo 4
Vamos substituir
por
na expressão:
Agora, vamos calcular o limite quando
:
Resposta
O limite existe e é igual a
.