Calcule os seguintes limites, caso existam, e justifique (inclusive caso não exista):
(a) lim x 0 (3 x-1) tan (5 x)x

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular o limite quando se aproxima de 0 da expressão . Vamos usar conhecimentos de limites e funções trigonométricas, especialmente como a tangente se comporta perto de 0. Precisaremos lembrar que pode ser aproximada por quando está próximo de 0.

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a expressão 3x - 1x cdot tan(5x) . Podemos separar os termos para facilitar:
( 3xx - 1x ) cdot tan(5x) = (3 - 1x) cdot tan(5x)
Isso nos dá:

Passo 3

Agora, vamos analisar cada parte separadamente.
  1. quando :
    • Quando se aproxima de 0, tende ao infinito, mas como pode se aproximar de 0 por valores positivos e negativos, precisamos considerar o comportamento de nesse contexto.
  2. quando :
    • Sabemos que quando está perto de 0. Portanto, .

Passo 4

Vamos substituir (3 - 1x) cdot 5x = 5x cdot 3 - 5x cdot 1x = 15x - 5 por limx to 0 (15x - 5) = 15 cdot 0 - 5 = -5 na expressão:
Agora, vamos calcular o limite quando :

Resposta

O limite existe e é igual a .

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