-1D Find parametric equations and symmetric equations for the line.
10. The line through ( 2,1,0 ) and perpendicular to both i + j and j + k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto (2, 1, 0) e que é perpendicular aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a direção da reta. Como a reta é perpendicular a dois vetores, a direção dela é dada pelo produto vetorial desses vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos.
Vamos calcular o produto vetorial de e :
Expandindo o produto vetorial:
Sabendo que e usando as propriedades do produto vetorial:
Então:
Portanto, o vetor direção da reta é .

Passo 3

Agora que temos o ponto por onde passa a reta, que é (2, 1, 0), e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta.
As equações paramétricas têm a forma:
Onde é o ponto da reta e é o vetor direção. Substituindo os valores:
Ou seja:

Passo 4

Para as equações simétricas da reta, a gente elimina o parâmetro das equações paramétricas. A forma geral das equações simétricas é:
Usando os valores que já temos:
Simplificando:
Ou de forma mais direta:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
E as equações simétricas da reta são:

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