-1D Find parametric equations and symmetric equations for the line.
10. The line through ( ) and perpendicular to both and
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de geometria analítica! A gente precisa encontrar as equações paramétricas e as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto (2, 1, 0) e que é perpendicular aos vetores e . Para isso, vamos usar conceitos de vetores e produto vetorial.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a direção da reta. Como a reta é perpendicular a dois vetores, a direção dela é dada pelo produto vetorial desses vetores. O produto vetorial de dois vetores resulta em um vetor que é perpendicular a ambos.
Vamos calcular o produto vetorial de e :
Expandindo o produto vetorial:
Sabendo que e usando as propriedades do produto vetorial:
Então:
Portanto, o vetor direção da reta é .
Passo 3
Agora que temos o ponto por onde passa a reta, que é (2, 1, 0), e o vetor direção , podemos escrever as equações paramétricas da reta.
As equações paramétricas têm a forma:
Onde é o ponto da reta e é o vetor direção. Substituindo os valores:
Ou seja:
Passo 4
Para as equações simétricas da reta, a gente elimina o parâmetro das equações paramétricas. A forma geral das equações simétricas é: