(b) Existe algum valor de b que torna a funçäo f continua em x=2 ? Se sim, exiba-o. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se existe um valor de que faz a função ser contínua em . A matéria que vamos usar aqui é continuidade de funções, especialmente como garantir que a função não “salta” em um ponto específico. Vamos precisar avaliar os limites da função pela esquerda e pela direita de e igualar ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em limx to 2^- f(x) = limx to 2^+ f(x) = f(2) . Isso quer dizer que o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda () e pelo direito () deve ser igual ao valor da função em , que é .
Matematicamente, isso pode ser escrito como:
Como , precisamos descobrir esses limites e ver se conseguimos achar um que iguale tudo.
Então, f(x) = (x + 1)(x + 3)(x - 2)(x - 2)(x - 2)(x + 1) = (x + 3)(x - 2) é um fator. Fazemos a divisão polinomial ou fatoração:
Denominador:
Tentando :
Então, é um fator:
Então, podemos simplificar a expressão original:
Observamos que, para e , a função simplifica para .
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando limx to 2^- x + 3x - 2 = 2 + 32 - 2 = 50^- = -infty se aproxima de 2 pela esquerda:
Isso significa que, conforme nos aproximamos de 2 pela esquerda, a função tende a menos infinito.
Passo 6
Vamos calcular o limite quando limx to 2^+ f(x) = b se aproxima de 2 pela direita, limx to 2^- f(x) = limx to 2^+ f(x) = f(2) . Para -infty = b = b , a função é constante . Então:
Para a função ser contínua em , precisamos que:
Ou seja:
Isso não faz sentido matematicamente, pois não pode ser igual a menos infinito.
Resposta
Não, não existe nenhum valor de que torne a função contínua em .