Considere a função f: R R dada por
f(x)=ll sen(3 x+3)x+1 & se x<-1 a & se x=-1 x^3+2 x^2-5 x-6x^3-3 x^2+4 & se -1= 2
(b) Existe algum valor de b que torna a funçäo f continua em x=2 ? Se sim, exiba-o. Justifique sua resposta.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se existe um valor de que faz a função ser contínua em . A matéria que vamos usar aqui é continuidade de funções, especialmente como garantir que a função não “salta” em um ponto específico. Vamos precisar avaliar os limites da função pela esquerda e pela direita de e igualar ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em limx to 2^- f(x) = limx to 2^+ f(x) = f(2) . Isso quer dizer que o limite da função quando se aproxima de 2 pela esquerda ( ) e pelo direito ( ) deve ser igual ao valor da função em , que é .
Matematicamente, isso pode ser escrito como:
Como , precisamos descobrir esses limites e ver se conseguimos achar um que iguale tudo.

Passo 3

Vamos calcular o limite pela esquerda, f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6x^3 - 3x^2 + 4 . Para f(2) = 2^3 + 2 cdot 2^2 - 5 cdot 2 - 62^3 - 3 cdot 2^2 + 4 = 8 + 8 - 10 - 68 - 12 + 4 = 00 , a função é:
Vamos substituir nessa expressão:
Obtemos uma forma indeterminada , então precisamos usar álgebra para simplificar.

Passo 4

Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão:
Numerador: 1 + 2 - 5 - 6 = -8 neq 0
Procuramos raízes possíveis usando o teste das raízes racionais. Testando -1 + 2 + 5 - 6 = 0 :
x^3 + 2x^2 - 5x - 6 = (x + 1)(x^2 + x - 6) = (x + 1)(x + 3)(x - 2)
Testando 8 - 12 + 4 = 0 :
x^3 - 3x^2 + 4 = (x - 2)(x^2 - x - 2) = (x - 2)(x - 2)(x + 1)
Então, f(x) = (x + 1)(x + 3)(x - 2)(x - 2)(x - 2)(x + 1) = (x + 3)(x - 2) é um fator. Fazemos a divisão polinomial ou fatoração:
Denominador:
Tentando :
Então, é um fator:
Então, podemos simplificar a expressão original:
Observamos que, para e , a função simplifica para .

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite quando limx to 2^- x + 3x - 2 = 2 + 32 - 2 = 50^- = -infty se aproxima de 2 pela esquerda:
Isso significa que, conforme nos aproximamos de 2 pela esquerda, a função tende a menos infinito.

Passo 6

Vamos calcular o limite quando limx to 2^+ f(x) = b se aproxima de 2 pela direita, limx to 2^- f(x) = limx to 2^+ f(x) = f(2) . Para -infty = b = b , a função é constante . Então:
Para a função ser contínua em , precisamos que:
Ou seja:
Isso não faz sentido matematicamente, pois não pode ser igual a menos infinito.

Resposta

Não, não existe nenhum valor de que torne a função contínua em .

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