Considere a função
dada por
(b) Existe algum valor de
f que torna a funçäo
em x=2 continua
? Se sim, exiba-o. Justifique sua resposta.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede pra gente verificar se existe um valor de
que faz a função
ser contínua em
. A matéria que vamos usar aqui é continuidade de funções, especialmente como garantir que a função não “salta” em um ponto específico. Vamos precisar avaliar os limites da função pela esquerda e pela direita de
e igualar ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa a função ser contínua em
. Isso quer dizer que o limite da função quando
se aproxima de 2 pela esquerda (
) e pelo direito (
) deve ser igual ao valor da função em
, que é
.
Matematicamente, isso pode ser escrito como:
Como
, precisamos descobrir esses limites e ver se conseguimos achar um
que iguale tudo.
Passo 3
Vamos calcular o limite pela esquerda,
. Para
, a função é:
Vamos substituir
nessa expressão:
Obtemos uma forma indeterminada
, então precisamos usar álgebra para simplificar.
Passo 4
Vamos fatorar o numerador e o denominador para simplificar a expressão:
Numerador:
Procuramos raízes possíveis usando o teste das raízes racionais. Testando :
Numerador:
Procuramos raízes possíveis usando o teste das raízes racionais. Testando
Testando
:
Então,
é um fator. Fazemos a divisão polinomial ou fatoração:
Denominador:
Tentando :
Tentando
Então,
é um fator:
Então, podemos simplificar a expressão original:
Observamos que, para
e
, a função simplifica para
.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela esquerda:
Isso significa que, conforme nos aproximamos de 2 pela esquerda, a função tende a menos infinito.
Passo 6
Vamos calcular o limite quando
se aproxima de 2 pela direita,
. Para
, a função é constante
. Então:
Para a função ser contínua em
, precisamos que:
Ou seja:
Isso não faz sentido matematicamente, pois
não pode ser igual a menos infinito.
Resposta
Não, não existe nenhum valor de
que torne a função
contínua em
.
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6. The line through the origin and the point <span class="math-inline ">
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6. The line through the origin and the point <span class="math-inline ">
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</body></html>
<html><head></head><body><div>2-5. Find a vector equation and parametric equations for the line.<br>
3. The line through the point <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“10.686ex” height=“2.262ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -750 4723.3 1000”><title>(2, 2.4, 3.5)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mo”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(389,0)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(889,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1333.7,0)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path><path data-c=“2E” d=“M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z” transform=“translate(500,0)”></path><path data-c=“34” d=“M462 0Q444 3 333 3Q217 3 199 0H190V46H221Q241 46 248 46T265 48T279 53T286 61Q287 63 287 115V165H28V211L179 442Q332 674 334 675Q336 677 355 677H373L379 671V211H471V165H379V114Q379 73 379 66T385 54Q393 47 442 46H471V0H462ZM293 211V545L74 212L183 211H293Z” transform=“translate(778,0)”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2611.7,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(3056.3,0)”><path data-c=“33” d=“M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z”></path><path data-c=“2E” d=“M78 60Q78 84 95 102T138 120Q162 120 180 104T199 61Q199 36 182 18T139 0T96 17T78 60Z” transform=“translate(500,0)”></path><path data-c=“35” d=“M164 157Q164 133 148 117T109 101H102Q148 22 224 22Q294 22 326 82Q345 115 345 210Q345 313 318 349Q292 382 260 382H254Q176 382 136 314Q132 307 129 306T114 304Q97 304 95 310Q93 314 93 485V614Q93 664 98 664Q100 666 102 666Q103 666 123 658T178 642T253 634Q324 634 389 662Q397 666 402 666Q410 666 410 648V635Q328 538 205 538Q174 538 149 544L139 546V374Q158 388 169 396T205 412T256 420Q337 420 393 355T449 201Q449 109 385 44T229 -22Q148 -22 99 32T50 154Q50 178 61 192T84 210T107 214Q132 214 148 197T164 157Z” transform=“translate(778,0)”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(4334.3,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> and parallel to the vector <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.452ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“10.683ex” height=“2.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -695 4721.9 895”><title>3i + 2j - k</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“33” d=“M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(500,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D422” d=“M72 610Q72 649 98 672T159 695Q193 693 217 670T241 610Q241 572 217 549T157 525Q120 525 96 548T72 610ZM46 442L136 446L226 450H232V62H294V0H286Q271 3 171 3Q67 3 49 0H40V62H109V209Q109 358 108 362Q103 380 55 380H43V442H46Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1041.2,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(2041.4,0)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(2541.4,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D423” d=“M104 610Q104 649 130 672T191 695Q225 693 249 670T273 610Q273 572 249 549T189 525Q152 525 128 548T104 610ZM78 442L173 446L268 450H274V196Q274 -5 274 -37T269 -83Q256 -132 201 -166T71 -200Q10 -200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3114.7,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(4114.9,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D424” d=“M32 686L123 690Q214 694 215 694H221V255L377 382H346V444H355Q370 441 476 441Q544 441 556 444H562V382H476L347 277L515 62H587V0H579Q564 3 476 3Q370 3 352 0H343V62H358L373 63L260 206L237 189L216 172V62H285V0H277Q259 3 157 3Q46 3 37 0H29V62H98V332Q98 387 98 453T99 534Q99 593 97 605T83 620Q69 624 42 624H29V686H32Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
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3. The line through the point <span class="math-inline ">
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.452ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“10.683ex” height=“2.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -695 4721.9 895”><title>3i + 2j - k</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“33” d=“M127 463Q100 463 85 480T69 524Q69 579 117 622T233 665Q268 665 277 664Q351 652 390 611T430 522Q430 470 396 421T302 350L299 348Q299 347 308 345T337 336T375 315Q457 262 457 175Q457 96 395 37T238 -22Q158 -22 100 21T42 130Q42 158 60 175T105 193Q133 193 151 175T169 130Q169 119 166 110T159 94T148 82T136 74T126 70T118 67L114 66Q165 21 238 21Q293 21 321 74Q338 107 338 175V195Q338 290 274 322Q259 328 213 329L171 330L168 332Q166 335 166 348Q166 366 174 366Q202 366 232 371Q266 376 294 413T322 525V533Q322 590 287 612Q265 626 240 626Q208 626 181 615T143 592T132 580H135Q138 579 143 578T153 573T165 566T175 555T183 540T186 520Q186 498 172 481T127 463Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(500,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D422” d=“M72 610Q72 649 98 672T159 695Q193 693 217 670T241 610Q241 572 217 549T157 525Q120 525 96 548T72 610ZM46 442L136 446L226 450H232V62H294V0H286Q271 3 171 3Q67 3 49 0H40V62H109V209Q109 358 108 362Q103 380 55 380H43V442H46Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1041.2,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(2041.4,0)”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(2541.4,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D423” d=“M104 610Q104 649 130 672T191 695Q225 693 249 670T273 610Q273 572 249 549T189 525Q152 525 128 548T104 610ZM78 442L173 446L268 450H274V196Q274 -5 274 -37T269 -83Q256 -132 201 -166T71 -200Q10 -200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(3114.7,0)”><path data-c=“2212” d=“M84 237T84 250T98 270H679Q694 262 694 250T679 230H98Q84 237 84 250Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(4114.9,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D424” d=“M32 686L123 690Q214 694 215 694H221V255L377 382H346V444H355Q370 441 476 441Q544 441 556 444H562V382H476L347 277L515 62H587V0H579Q564 3 476 3Q370 3 352 0H343V62H358L373 63L260 206L237 189L216 172V62H285V0H277Q259 3 157 3Q46 3 37 0H29V62H98V332Q98 387 98 453T99 534Q99 593 97 605T83 620Q69 624 42 624H29V686H32Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
<html><head></head><body><div>-1D Find parametric equations and symmetric equations for the line.<br>
10. The line through ( <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.439ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.406ex” height=“1.946ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -666 2389.3 860”><title>2,1,0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(500,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(944.7,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1444.7,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1889.3,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ) and perpendicular to both <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.452ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“4.282ex” height=“2.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -695 1892.4 895”><title>i + j</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D422” d=“M72 610Q72 649 98 672T159 695Q193 693 217 670T241 610Q241 572 217 549T157 525Q120 525 96 548T72 610ZM46 442L136 446L226 450H232V62H294V0H286Q271 3 171 3Q67 3 49 0H40V62H109V209Q109 358 108 362Q103 380 55 380H43V442H46Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(541.2,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(1541.4,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D423” d=“M104 610Q104 649 130 672T191 695Q225 693 249 670T273 610Q273 572 249 549T189 525Q152 525 128 548T104 610ZM78 442L173 446L268 450H274V196Q274 -5 274 -37T269 -83Q256 -132 201 -166T71 -200Q10 -200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> and <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.452ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“4.933ex” height=“2.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -695 2180.4 895”><title>j + k</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D423” d=“M104 610Q104 649 130 672T191 695Q225 693 249 670T273 610Q273 572 249 549T189 525Q152 525 128 548T104 610ZM78 442L173 446L268 450H274V196Q274 -5 274 -37T269 -83Q256 -132 201 -166T71 -200Q10 -200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(573.2,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(1573.4,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D424” d=“M32 686L123 690Q214 694 215 694H221V255L377 382H346V444H355Q370 441 476 441Q544 441 556 444H562V382H476L347 277L515 62H587V0H579Q564 3 476 3Q370 3 352 0H343V62H358L373 63L260 206L237 189L216 172V62H285V0H277Q259 3 157 3Q46 3 37 0H29V62H98V332Q98 387 98 453T99 534Q99 593 97 605T83 620Q69 624 42 624H29V686H32Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
</body></html>
10. The line through ( <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.439ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“5.406ex” height=“1.946ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -666 2389.3 860”><title>2,1,0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(500,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(944.7,0)”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1444.7,0)”><path data-c=“2C” d=“M78 35T78 60T94 103T137 121Q165 121 187 96T210 8Q210 -27 201 -60T180 -117T154 -158T130 -185T117 -194Q113 -194 104 -185T95 -172Q95 -168 106 -156T131 -126T157 -76T173 -3V9L172 8Q170 7 167 6T161 3T152 1T140 0Q113 0 96 17Z”></path></g><g data-mml-node=“mn” transform=“translate(1889.3,0)”><path data-c=“30” d=“M96 585Q152 666 249 666Q297 666 345 640T423 548Q460 465 460 320Q460 165 417 83Q397 41 362 16T301 -15T250 -22Q224 -22 198 -16T137 16T82 83Q39 165 39 320Q39 494 96 585ZM321 597Q291 629 250 629Q208 629 178 597Q153 571 145 525T137 333Q137 175 145 125T181 46Q209 16 250 16Q290 16 318 46Q347 76 354 130T362 333Q362 478 354 524T321 597Z”></path></g></g></g></svg></mjx-container></span> ) and perpendicular to both <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.452ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“4.282ex” height=“2.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -695 1892.4 895”><title>i + j</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D422” d=“M72 610Q72 649 98 672T159 695Q193 693 217 670T241 610Q241 572 217 549T157 525Q120 525 96 548T72 610ZM46 442L136 446L226 450H232V62H294V0H286Q271 3 171 3Q67 3 49 0H40V62H109V209Q109 358 108 362Q103 380 55 380H43V442H46Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(541.2,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(1541.4,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D423” d=“M104 610Q104 649 130 672T191 695Q225 693 249 670T273 610Q273 572 249 549T189 525Q152 525 128 548T104 610ZM78 442L173 446L268 450H274V196Q274 -5 274 -37T269 -83Q256 -132 201 -166T71 -200Q10 -200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span> and <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.452ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“4.933ex” height=“2.025ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -695 2180.4 895”><title>j + k</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D423” d=“M104 610Q104 649 130 672T191 695Q225 693 249 670T273 610Q273 572 249 549T189 525Q152 525 128 548T104 610ZM78 442L173 446L268 450H274V196Q274 -5 274 -37T269 -83Q256 -132 201 -166T71 -200Q10 -200 -30 -173T-71 -102Q-71 -70 -51 -51T-1 -31Q27 -31 48 -49T69 -100Q69 -121 53 -147H56Q66 -149 77 -149H80Q90 -149 100 -146T127 -125T149 -73Q151 -55 151 149V362Q150 364 148 366T145 370T142 373T138 375T133 377T124 378T113 379T97 380H75V442H78Z”></path></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(573.2,0)”><path data-c=“2B” d=“M56 237T56 250T70 270H369V420L370 570Q380 583 389 583Q402 583 409 568V270H707Q722 262 722 250T707 230H409V-68Q401 -82 391 -82H389H387Q375 -82 369 -68V230H70Q56 237 56 250Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” data-mjx-texclass=“ORD” transform=“translate(1573.4,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D424” d=“M32 686L123 690Q214 694 215 694H221V255L377 382H346V444H355Q370 441 476 441Q544 441 556 444H562V382H476L347 277L515 62H587V0H579Q564 3 476 3Q370 3 352 0H343V62H358L373 63L260 206L237 189L216 172V62H285V0H277Q259 3 157 3Q46 3 37 0H29V62H98V332Q98 387 98 453T99 534Q99 593 97 605T83 620Q69 624 42 624H29V686H32Z”></path></g></g></g></g></svg></mjx-container></span></div>
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<html><head></head><body><div>Determine os máximos e mínimos de: a) <span class="math-inline ">
<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“28.89ex” height=“2.452ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 12769.2 1083.9”><title>f(x, y) = 2x^3 + y^3 - 3x^2 - 3*y</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D453” d=“M118 -162Q120 -162 124 -164T135 -167T147 -168Q160 -168 171 -155T187 -126Q197 -99 221 27T267 267T289 382V385H242Q195 385 192 387Q188 390 188 397L195 425Q197 430 203 430T250 431Q298 431 298 432Q298 434 307 482T319 540Q356 705 465 705Q502 703 526 683T550 630Q550 594 529 578T487 561Q443 561 443 603Q443 622 454 636T478 657L487 662Q471 668 457 668Q445 668 434 658T419 630Q412 601 403 552T387 469T380 433Q380 431 435 431Q480 431 487 430T498 424Q499 420 496 407T491 391Q489 386 482 386T428 385H372L349 263Q301 15 282 -47Q255 -132 212 -173Q175 -205 139 -205Q107 -205 81 -186T55 -132Q55 -95 76 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