Determine os máximos e mínimos de: a) f(x, y) = 2*x^3 + y^3 - 3*x^2 - 3*y em Df

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e queremos encontrar seus pontos de máximos e mínimos no domínio . Isso envolve calcular derivadas parciais para identificar os pontos críticos e depois determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.

Passo 2

Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais da função em relação a e . As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a é:
E a derivada parcial em relação a é:

Passo 3

Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo e .
Resolvendo :
Resolvendo :
Então, os pontos críticos são:

Passo 4

Para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante é dado por:

Passo 5

Agora, avaliamos em cada ponto crítico:
  1. Ponto (0, 1):
Como , esse ponto é um ponto de sela.
  1. Ponto (0, -1):
Como e , esse é um ponto de máximo relativo.
  1. Ponto (1, 1):
Como e , esse é um ponto de mínimo relativo.
  1. Ponto (1, -1):
Como , esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

Os pontos de máximo e mínimo da função em são:
  • Máximo Relativo em
  • Mínimo Relativo em
Os pontos e são pontos de sela.

Exercícios relacionados