Determine os máximos e mínimos de: a)
em
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e queremos encontrar seus pontos de máximos e mínimos no domínio
. Isso envolve calcular derivadas parciais para identificar os pontos críticos e depois determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela.
Passo 2
Primeiro, precisamos achar as derivadas parciais da função em relação a
e
. As derivadas parciais nos dizem como a função muda quando apenas uma das variáveis muda, mantendo a outra constante.
A derivada parcial em relação a
é:
E a derivada parcial em relação a
é:
Passo 3
Agora, encontramos os pontos críticos resolvendo
e
.
Resolvendo
:
Resolvendo
:
Então, os pontos críticos são:
Passo 4
Para determinar se esses pontos são máximos, mínimos ou pontos de sela, usamos o teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
O discriminante
é dado por:
Passo 5
Agora, avaliamos
em cada ponto crítico:
- Ponto (0, 1):
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
- Ponto (0, -1):
Como
e
, esse é um ponto de máximo relativo.
- Ponto (1, 1):
Como
e
, esse é um ponto de mínimo relativo.
- Ponto (1, -1):
Como
, esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
Os pontos de máximo e mínimo da função
em
são:
- Máximo Relativo em
- Mínimo Relativo em
Os pontos
e
são pontos de sela.