-1D Find parametric equations and symmetric equations for the line.
II. The line through
and parallel to the line
II. The line through
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as equações paramétricas e as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto
e que é paralela à reta dada pela equação
. Para resolver isso, vamos precisar identificar um ponto pela qual a reta passa e o vetor diretor da reta dada, já que retas paralelas têm o mesmo vetor diretor.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta dada
. As equações simétricas podem ser reescritas para identificar o vetor diretor
.
Podemos igualar cada parte a um parâmetro
:
Isso nos dá:
O vetor diretor
é formado pelos coeficientes de
nas equações paramétricas, ou seja,
.
Passo 3
Agora que temos o vetor diretor
e sabemos que a nova reta passa pelo ponto
, podemos escrever as equações paramétricas da nova reta. As equações paramétricas têm a forma:
Onde
é o ponto inicial e
são os componentes do vetor diretor. Substituindo os valores:
Simplificando:
Passo 4
Para encontrar as equações simétricas, usamos as equações paramétricas e eliminamos o parâmetro
. A forma geral das equações simétricas é:
Substituindo os valores que temos:
Portanto, as equações simétricas são:
Resposta
As equações paramétricas da reta são:
E as equações simétricas da reta são: