-1D Find parametric equations and symmetric equations for the line.
II. The line through (1, -1, 1) and parallel to the line x + 2 = 1/2 y = z - 3

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar as equações paramétricas e as equações simétricas de uma reta que passa pelo ponto e que é paralela à reta dada pela equação . Para resolver isso, vamos precisar identificar um ponto pela qual a reta passa e o vetor diretor da reta dada, já que retas paralelas têm o mesmo vetor diretor.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor diretor da reta dada . As equações simétricas podem ser reescritas para identificar o vetor diretor .
Podemos igualar cada parte a um parâmetro :
Isso nos dá:
O vetor diretor é formado pelos coeficientes de nas equações paramétricas, ou seja, .

Passo 3

Agora que temos o vetor diretor e sabemos que a nova reta passa pelo ponto , podemos escrever as equações paramétricas da nova reta. As equações paramétricas têm a forma:
Onde é o ponto inicial e são os componentes do vetor diretor. Substituindo os valores:
Simplificando:

Passo 4

Para encontrar as equações simétricas, usamos as equações paramétricas e eliminamos o parâmetro . A forma geral das equações simétricas é:
Substituindo os valores que temos:
Portanto, as equações simétricas são:

Resposta

As equações paramétricas da reta são:
E as equações simétricas da reta são:

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