-1D Find parametric equations and symmetric equations for the line.
12. The line of intersection of the planes x + y + z = 1 and x + z = 0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações paramétricas e simétricas da linha onde dois planos se interceptam. Os planos dados são:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre interseção de planos e equações de linhas no espaço tridimensional.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar uma direção para a linha de interseção. A direção da linha é perpendicular a ambas as normais dos planos. As normais dos planos são os vetores dos coeficientes de , e :
  • Normal do primeiro plano:
  • Normal do segundo plano:
A direção da linha é o produto vetorial dessas normais:

Passo 3

Vamos calcular o produto vetorial:
Então, a direção da linha é .

Passo 4

Agora, precisamos de um ponto que esteja na linha de interseção. Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos dois planos. Podemos expressar uma variável em termos das outras. Vamos isolar da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, e . Vamos escolher como parâmetro.

Passo 5

Com , temos:
Então, as equações paramétricas da linha são:

Passo 6

Para escrever as equações simétricas, resolvemos para em cada equação paramétrica:
Igualando as expressões para :
Portanto, as equações simétricas são:

Resposta

As equações paramétricas da linha são:
E as equações simétricas da linha são:

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