-1D Find parametric equations and symmetric equations for the line.
12. The line of intersection of the planes and
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar as equações paramétricas e simétricas da linha onde dois planos se interceptam. Os planos dados são:
Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica sobre interseção de planos e equações de linhas no espaço tridimensional.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar uma direção para a linha de interseção. A direção da linha é perpendicular a ambas as normais dos planos. As normais dos planos são os vetores dos coeficientes de , e :
Normal do primeiro plano:
Normal do segundo plano:
A direção da linha é o produto vetorial dessas normais:
Passo 3
Vamos calcular o produto vetorial:
Então, a direção da linha é .
Passo 4
Agora, precisamos de um ponto que esteja na linha de interseção. Para isso, vamos resolver o sistema de equações dos dois planos. Podemos expressar uma variável em termos das outras. Vamos isolar da segunda equação:
Substituindo na primeira equação:
Então, e . Vamos escolher como parâmetro.
Passo 5
Com , temos:
Então, as equações paramétricas da linha são:
Passo 6
Para escrever as equações simétricas, resolvemos para em cada equação paramétrica: