Calcule
, onde
Essa funçāo é continua? Justifique a resposta.
Passo 1
Vamos calcular o limite de
quando
se aproxima de 0 e verificar se a função é contínua. Estamos trabalhando com os conceitos de limites e continuidade de funções. Para isso, vamos precisar entender como calcular limites e aplicar o critério de continuidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar
. A função
é definida por:
Para
, temos . Sabemos que o seno de qualquer número está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados por
, que é sempre não negativo:
Multiplicando por -1 (e invertendo as desigualdades):
Então, temos:
Sabemos que
. Pelo Teorema do Sanduíche, se
está entre duas funções que limitam a 0 quando
se aproxima de 0, então:
Passo 3
Agora, vamos verificar se
é contínua em
. Para isso, precisamos que:
Calculamos que
e sabemos que
. Como 0 não é igual a 1, a condição para continuidade não é satisfeita.
Resposta
O limite de
quando
se aproxima de 0 é 0, e a função não é contínua em
.