Calcule lim x 0 g(x), onde
g(x)=ll -|x| sen(1x) & se x neq 0 1 & se x=0
Essa funçāo é continua? Justifique a resposta.

Passo 1

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 0 e verificar se a função é contínua. Estamos trabalhando com os conceitos de limites e continuidade de funções. Para isso, vamos precisar entender como calcular limites e aplicar o critério de continuidade.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar g(x) = -,|x|,sen(dfrac1x) & se x neq 0 1 & se x = 0 . A função -1 <= sen(dfrac1x) <= 1 é definida por:
Para -|x| <= |x|,sen(dfrac1x) <= |x| , temos . Sabemos que o seno de qualquer número está entre -1 e 1, ou seja:
Multiplicando todos os lados por -|x| <= -|x|,sen(dfrac1x) <= |x| , que é sempre não negativo:
Multiplicando por -1 (e invertendo as desigualdades):
Então, temos:
-|x| <= g(x) <= |x|
Sabemos que limx to 0 g(x) = 0 . Pelo Teorema do Sanduíche, se está entre duas funções que limitam a 0 quando se aproxima de 0, então:

Passo 3

Agora, vamos verificar se limx to 0 g(x) = g(0) é contínua em . Para isso, precisamos que:
Calculamos que e sabemos que . Como 0 não é igual a 1, a condição para continuidade não é satisfeita.

Resposta

O limite de quando se aproxima de 0 é 0, e a função não é contínua em .

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