(a) Existe algum valor de a que torna a função f contínua em x=-1 ? Se sim, exiba-o. Justifique sua resposta.
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por várias partes e queremos descobrir se existe um valor de que faz com que a função seja contínua em . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente exige que o limite da função ao se aproximar do ponto seja igual ao valor da função nesse ponto.
Passo 2
Para que a função seja contínua em , o limite de quando se aproxima de pela esquerda () e pela direita () deve ser igual ao valor de , que é .
Passo 3
Vamos calcular o limite de f(x) = sen(3x + 3)x + 1 quando sen(3(-1) + 3)-1 + 1 = sen(0)0 = 00 se aproxima de pela esquerda ():
Substituindo :
Essa é uma forma indeterminada, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Derivando o numerador e o denominador:
Então, o limite pela esquerda é 3.
Passo 5
Agora, vamos calcular o limite de f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6x^3 - 3x^2 + 4 quando (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 + 2 + 5 - 6-1 - 3 + 4 = 00 se aproxima de pela direita ():
Substituindo :
Mais uma vez, temos uma forma indeterminada, então aplicamos a Regra de L’Hôpital.