Considere a função f: R R dada por
f(x)=ll sen(3 x+3)x+1 & se x<-1 a & se x=-1 x^3+2 x^2-5 x-6x^3-3 x^2+4 & se -1= 2
(a) Existe algum valor de a que torna a função f contínua em x=-1 ? Se sim, exiba-o. Justifique sua resposta.

Passo 1

Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida por várias partes e queremos descobrir se existe um valor de que faz com que a função seja contínua em . Para isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções, que basicamente exige que o limite da função ao se aproximar do ponto seja igual ao valor da função nesse ponto.

Passo 2

Para que a função seja contínua em , o limite de quando se aproxima de pela esquerda ( ) e pela direita ( ) deve ser igual ao valor de , que é .

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x) = sen(3x + 3)x + 1 quando sen(3(-1) + 3)-1 + 1 = sen(0)0 = 00 se aproxima de pela esquerda ( ):
Substituindo :
Essa é uma forma indeterminada, então podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Derivando o numerador e o denominador:
Então, o limite pela esquerda é 3.

Passo 5

Agora, vamos calcular o limite de f(x) = x^3 + 2x^2 - 5x - 6x^3 - 3x^2 + 4 quando (-1)^3 + 2(-1)^2 - 5(-1) - 6(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4 = -1 + 2 + 5 - 6-1 - 3 + 4 = 00 se aproxima de pela direita ( ):
Substituindo :
Mais uma vez, temos uma forma indeterminada, então aplicamos a Regra de L’Hôpital.

Passo 6

Derivando o numerador e o denominador:
limx to -1^+ x^3 + 2x^2 - 5x - 6x^3 - 3x^2 + 4 = limx to -1^+ 3x^2 + 4x - 53x^2 - 6x
Substituindo 3(-1)^2 + 4(-1) - 53(-1)^2 - 6(-1) = 3 - 4 - 53 + 6 = -69 = -23 :
Então, o limite pela direita é .

Passo 7

Para que a função seja contínua em 3 = -23 = a , os limites pela esquerda e pela direita devem ser iguais e também iguais a . Ou seja:
Isso não é possível, já que não é igual a .

Resposta

Não existe nenhum valor de que torne a função contínua em .

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