(3-3) Find an equation of the plane.
25. The plane through the point
and with normal vector
25. The plane through the point
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação de um plano que passa pelo ponto
e tem um vetor normal
. Vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente a equação geral do plano, e para isso, precisamos entender como aplicar o vetor normal e um ponto conhecido para chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a equação de um plano. Se tivermos um ponto
pelo qual o plano passa e um vetor normal
, a equação do plano é dada por:
Aqui,
são as coordenadas quaisquer de pontos no plano.
Passo 3
No nosso caso, o ponto dado é
e o vetor normal é
. Isso significa que os componentes do vetor normal são
,
e
. Vamos substituir esses valores na fórmula do plano:
Passo 4
Agora, vamos simplificar a equação:
Distribuindo os sinais:
Somando os termos semelhantes:
Passo 5
Finalmente, podemos escrever a equação do plano de forma mais simples:
Resposta
A equação do plano é: