(3-3) Find an equation of the plane.
25. The plane through the point (1, -1, 1) and with normal vector i + j - k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrarmos a equação de um plano que passa pelo ponto e tem um vetor normal . Vamos usar os conceitos de geometria analítica, especificamente a equação geral do plano, e para isso, precisamos entender como aplicar o vetor normal e um ponto conhecido para chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para a equação de um plano. Se tivermos um ponto pelo qual o plano passa e um vetor normal , a equação do plano é dada por:
Aqui, (x, y, z) são as coordenadas quaisquer de pontos no plano.

Passo 3

No nosso caso, o ponto dado é e o vetor normal é . Isso significa que os componentes do vetor normal são , e . Vamos substituir esses valores na fórmula do plano:

Passo 4

Agora, vamos simplificar a equação:
Distribuindo os sinais:
Somando os termos semelhantes:

Passo 5

Finalmente, podemos escrever a equação do plano de forma mais simples:

Resposta

A equação do plano é:

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