(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
b.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite:
A ideia aqui é descobrir se esse limite existe quando se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites, especialmente sobre funções trigonométricas como o seno e as propriedades do valor absoluto.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o seno de tem um comportamento bem conhecido perto de zero. Sabemos que:
Isso significa que, para valores de muito próximos de zero, é aproximadamente igual a .
Passo 3
Agora, vamos analisar o denominador da nossa expressão: . O valor absoluto de garante que o denominador seja sempre positivo, independente de ser positivo ou negativo.
Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:
Passo 4
Sabemos que:
Então, o que resta é analisar:
Passo 5
Vamos entender o que acontece com quando se aproxima de 0 pela direita () e pela esquerda ():
Quando : é positivo, então . Assim:
Quando : é negativo, então . Assim:
Passo 6
Então, o limite da nossa expressão depende de como se aproxima de 0:
Pela direita ():
Pela esquerda ():
Passo 7
Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), isso significa que o limite geral não existe.
Resposta
O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.