(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
b.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite:
A ideia aqui é descobrir se esse limite existe quando se aproxima de 0. Para isso, vamos usar conhecimentos de limites, especialmente sobre funções trigonométricas como o seno e as propriedades do valor absoluto.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o seno de tem um comportamento bem conhecido perto de zero. Sabemos que:
Isso significa que, para valores de muito próximos de zero, é aproximadamente igual a .

Passo 3

Agora, vamos analisar o denominador da nossa expressão: . O valor absoluto de garante que o denominador seja sempre positivo, independente de ser positivo ou negativo.
Então, podemos reescrever o limite da seguinte forma:

Passo 4

Sabemos que:
Então, o que resta é analisar:

Passo 5

Vamos entender o que acontece com quando se aproxima de 0 pela direita ( ) e pela esquerda ( ):
  • Quando : é positivo, então . Assim:
  • Quando : é negativo, então . Assim:

Passo 6

Então, o limite da nossa expressão depende de como se aproxima de 0:
  • Pela direita ( ):
  • Pela esquerda ( ):

Passo 7

Como os limites laterais são diferentes ( pela direita e pela esquerda), isso significa que o limite geral não existe.

Resposta

O limite não existe porque os limites laterais são diferentes.

Exercícios relacionados

Calcule os seguintes limites:
h. .
Equações de cônicas são muito comuns na geometria analítica. Esboce detalhadamente o lugar geométrico das seguintes cônicas no plano real, usando as propriedades de simetria das mesmas e um gráfico definido localmente (isto é, um a. A elipse .
Usando o valor de a indicado para cada item, determine e caso exista, . Esboce o gráfico de .
(a)
Verifique se a função é contínua em todos os pontos. Esboce o gráfico de .