Verifique se a função é contínua em todos os pontos. Esboce o gráfico de .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função f(x) = 1 + x^2, & se x <= 0 2 - x, & se 0 < x <= 2 (x - 2)^2, & se x > 2 definida por partes:
O objetivo é verificar se essa função é contínua em todos os pontos e, depois, esboçar o gráfico dela. Para isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como verificar a continuidade de funções definidas por partes.
Passo 2
Continuidade em um ponto significa que não há “saltos” ou “interrupções” no gráfico da função naquele ponto. Para funções definidas por partes, a principal preocupação é verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, nos pontos de transição entre as partes.
Neste caso, os pontos de transição são e . Precisamos verificar a continuidade nesses pontos.
Passo 3
Para verificar a continuidade em um ponto , devemos confirmar três condições:
A função está definida em , ou seja, existe.
O limite da função quando se aproxima de existe.
O limite da função quando se aproxima de é igual ao valor da função em , ou seja, .
Vamos aplicar essas condições nos pontos e .
Passo 4
Verificando a continuidade em f(0) = 1 + (0)^2 = 1 :
Valor da função em 0:
limx to 0^- f(x) = limx to 0^- (1 + x^2) = 1 + 0 = 1
Limite quando limx to 0^+ f(x) = limx to 0^+ (2 - x) = 2 - 0 = 2 se aproxima de 0 pela esquerda ():
Limite quando se aproxima de 0 pela direita ():
Como os limites pela esquerda e pela direita são diferentes (), o limite geral não existe. Portanto, a função não é contínua em .
Passo 5
Verificando a continuidade em f(2) = 2 - 2 = 0 :
Valor da função em 2:
limx to 2^- f(x) = limx to 2^- (2 - x) = 2 - 2 = 0
Limite quando limx to 2^+ f(x) = limx to 2^+ (x - 2)^2 = (2 - 2)^2 = 0 se aproxima de 2 pela esquerda ():
Limite quando se aproxima de 2 pela direita ():
Aqui, os limites pela esquerda e pela direita são iguais e também iguais ao valor da função em 2. Portanto, a função é contínua em .
Passo 6
Analisando outros pontos:
Para , , a função é um polinômio, que é contínuo em todo o seu domínio.
Para , a função é uma função linear, que também é contínua em todo o seu domínio.
Para , a função é outro polinômio, contínuo em todo o seu domínio.
Portanto, exceto no ponto , a função é contínua em todos os outros pontos.
Passo 7
Esboçando o gráfico da função :
Para : é uma parábola com vértice em abrindo para cima.
Para : é uma reta decrescente que vai de a .
Para : é outra parábola com vértice em abrindo para cima.
No ponto , há um “salto” no valor da função: pela esquerda e pela direita , indicando uma descontinuidade.
Resposta
A função não é contínua em , mas é contínua em todos os outros pontos. O gráfico possui um salto em e é formado por duas parábolas e uma reta conforme descrito.