Equações de cônicas são muito comuns na geometria analítica. Esboce detalhadamente o lugar geométrico das seguintes cônicas no plano real, usando as propriedades de simetria das mesmas e um gráfico definido localmente (isto é, um a. A elipse
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de geometria analítica que pede pra esboçar detalhadamente o lugar geométrico de uma cônica, mais especificamente uma elipse. Então, vamos precisar entender o que é uma elipse, suas propriedades de simetria e como representar isso graficamente no plano cartesiano. Para resolver, vamos usar a equação padrão da elipse que é
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma elipse. Uma elipse é o conjunto de pontos no plano onde a soma das distâncias de dois pontos fixos, chamados de focos, é constante. É como uma oval, e suas propriedades dependem dos valores de
e
na equação.
Passo 3
Na equação
,
e
representam os semi-eixos da elipse. Se
, a elipse é alongada no eixo x (horizontal). Se
, é alongada no eixo y (vertical). Vamos assumir que
para este exercício.
Passo 4
As propriedades de simetria são importantes para esboçar a elipse. A equação mostra que a elipse é simétrica em relação aos eixos x e y. Isso significa que se a gente desenhar a elipse, ela vai ser igual nos lados positivos e negativos desses eixos.
Passo 5
Para esboçar a elipse, precisamos identificar os pontos importantes:
- Vértices: São os pontos mais afastados no eixo principal. Nesse caso, estão em
. - Co-vértices: São os pontos no eixo secundário, em
. - Focos: Os focos estão localizados a uma distância
do centro, onde . Ficam nos pontos .
Passo 6
Agora, vamos desenhar o sistema de coordenadas. Marque o centro da elipse na origem
. Em seguida, marque os vértices em
e
, os co-vértices em
e
, e os focos em
e
.
Passo 7
Com esses pontos marcados, desenhe a elipse conectando os vértices e co-vértices de forma suave, respeitando a simetria em relação aos eixos. A elipse vai se estender mais ao longo do eixo x (horizontal) devido a
.
Resposta
O lugar geométrico é uma elipse centrada na origem, com vértices em
, co-vértices em
, e focos em
. A elipse é simétrica em relação aos eixos x e y, sendo mais alongada no eixo x quando
.
Exercícios relacionados
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
d. .
d.
Idem, considerando as seguintes funções (conhecidas como funções hiperbólicas):
e. .
e.
Calcule os seguintes limites:
h. .
h.
(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
b.
b.