Calcule os seguintes limites:
h.
.
h.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno e o cosseno se comportam perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições básicas:
- Seno:
- Cosseno:
- Secante:
Quando
se aproxima de
, sabemos que
se aproxima de 0, então
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento das funções no limite:
- Numerador:
tende ao infinito porque está se aproximando de 0. - Denominador:
. Como , então também se aproxima de 1, fazendo com que o denominador se aproxime de 0.
Então, temos uma forma indeterminada do tipo
, o que sugere que o limite tende ao infinito ou a menos infinito, dependendo dos sinais.
Passo 4
Para entender melhor o comportamento, vamos fazer uma substituição. Seja
, então quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0.
Agora, reescrevemos as funções em termos de
:
Passo 5
Vamos expandir
e
usando as séries de Taylor para valores próximos de 0:
-
(já que os termos de ordem superior são desprezíveis quando é muito pequeno) -
Então,
Passo 6
Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, examinamos o comportamento quando
se aproxima de 0:
-
tende a 0, então tende ao infinito. - O sinal é negativo, então
tende a .
Resposta
O limite é
.