Calcule os seguintes limites:
h. lim x pi / 2 sec ^3(x)1-sen^3(x).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
lim x pi2 sec^3(x)1 - sin^3(x)
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno e o cosseno se comportam perto de .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar das definições básicas:
  • Seno:
  • Cosseno:
  • Secante:
Quando se aproxima de , sabemos que se aproxima de 0, então tende ao infinito.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento das funções no limite:
  • Numerador: tende ao infinito porque está se aproximando de 0.
  • Denominador: . Como , então também se aproxima de 1, fazendo com que o denominador se aproxime de 0.
Então, temos uma forma indeterminada do tipo , o que sugere que o limite tende ao infinito ou a menos infinito, dependendo dos sinais.

Passo 4

Para entender melhor o comportamento, vamos fazer uma substituição. Seja , então quando se aproxima de , se aproxima de 0.
Agora, reescrevemos as funções em termos de :

Passo 5

Vamos expandir e usando as séries de Taylor para valores próximos de 0:
  • (já que os termos de ordem superior são desprezíveis quando é muito pequeno)
Então,

Passo 6

Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
sec^3(x)1 - sin^3(x) = (1cos(x))^31 - (1 - t^22)^3
Simplificando:
(1-t)^31 - (1 - 3t^22 + termos de ordem superior) = -1t^33t^22 = -1t^3 cdot 23t^2 = -23t^5

Passo 7

Agora, examinamos o comportamento quando se aproxima de 0:
  • tende a 0, então tende ao infinito.
  • O sinal é negativo, então tende a .

Resposta

O limite é .

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