Calcule os seguintes limites:
h.
.
h.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse limite juntos! O enunciado pede para calcular:
Aqui, estamos lidando com funções trigonométricas e limites. Para resolver isso, vamos precisar entender como o seno e o cosseno se comportam perto de
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar das definições básicas:
- Seno:
- Cosseno:
- Secante:
Quando
se aproxima de
, sabemos que
se aproxima de 0, então
tende ao infinito.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento das funções no limite:
- Numerador:
tende ao infinito porque está se aproximando de 0. - Denominador:
. Como , então também se aproxima de 1, fazendo com que o denominador se aproxime de 0.
Então, temos uma forma indeterminada do tipo
, o que sugere que o limite tende ao infinito ou a menos infinito, dependendo dos sinais.
Passo 4
Para entender melhor o comportamento, vamos fazer uma substituição. Seja
, então quando
se aproxima de
,
se aproxima de 0.
Agora, reescrevemos as funções em termos de
:
Passo 5
Vamos expandir
e
usando as séries de Taylor para valores próximos de 0:
-
(já que os termos de ordem superior são desprezíveis quando é muito pequeno) -
Então,
Passo 6
Agora, substituímos essas aproximações na expressão original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, examinamos o comportamento quando
se aproxima de 0:
-
tende a 0, então tende ao infinito. - O sinal é negativo, então
tende a .
Resposta
O limite é
.
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Equações de cônicas são muito comuns na geometria analítica. Esboce detalhadamente o lugar geométrico das seguintes cônicas no plano real, usando as propriedades de simetria das mesmas e um gráfico definido localmente (isto é, um a. A elipse
.
Idem, considerando as seguintes opções para uma função g:
d. .
d.
(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
b.
b.
Usando o valor de a indicado para cada item, determine
e caso exista,
. Esboce o gráfico de
.
(a)
(a)