Usando o valor de a indicado para cada item, determine lim x a^- f(x), lim x a^+ f(x) e caso exista, lim x a f(x). Esboce o gráfico de f.
(a) f(x)=cc3 x-2, & x>1 2, & x=1 4 x+1, & x<1 (a=1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A questão pede para determinar os limites laterais de uma função definida por partes quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ). Também queremos saber se o limite geral existe. Além disso, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar entender o que são limites laterais e como trabalhar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes partes da função f(x) = 3x - 2, & se x > 1 2, & se x = 1 4x + 1, & se x < 1 para :
Isso significa que a função tem três comportamentos diferentes dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando f(x) = 4x + 1 se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, limx to 1^- f(x) = 4(1) + 1 = 5 . Como estamos vindo da esquerda de 1, usamos a parte da função definida para :
Então:
Explicando: substituímos por 1 na função porque estamos olhando para os valores à esquerda de 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando f(x) = 3x - 2 se aproxima de 1 pela direita, ou seja, limx to 1^+ f(x) = 3(1) - 2 = 1 . Como estamos vindo da direita de 1, usamos a parte da função definida para :
Então:
Explicando: substituímos por 1 na função porque estamos olhando para os valores à direita de 1.

Passo 5

Para determinar se o limite geral limx to 1^- f(x) = 5 e limx to 1^+ f(x) = 1 existe, precisamos verificar se os limites laterais são iguais. No nosso caso:
Como 5 não é igual a 1, o limite geral não existe.

Passo 6

Vamos esboçar o gráfico da função :
  1. Para : a função é . É uma reta com inclinação 4 e intercepto em 1.
  2. Para : . Representamos esse ponto com um círculo aberto na reta anterior (valor que a função se aproxima pela esquerda, 5) e um ponto sólido em 2.
  3. Para : a função é . É outra reta com inclinação 3 e intercepto em -2.
No ponto , há uma descontinuidade, pois os limites laterais não se coincidem e o valor da função está definido como 2, que é diferente dos limites laterais.

Resposta

limx to 1^- f(x) = 5, limx to 1^+ f(x) = 1, e o limite >=ral limx to 1 f(x) não existe ã

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