Usando o valor de a indicado para cada item, determine e caso exista, . Esboce o gráfico de .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A questão pede para determinar os limites laterais de uma função definida por partes quando se aproxima de 1 pela esquerda () e pela direita (). Também queremos saber se o limite geral existe. Além disso, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar entender o que são limites laterais e como trabalhar com funções definidas por partes.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as diferentes partes da função f(x) = 3x - 2, & se x > 1 2, & se x = 1 4x + 1, & se x < 1 para :
Isso significa que a função tem três comportamentos diferentes dependendo do valor de .
Passo 3
Vamos calcular o limite quando f(x) = 4x + 1 se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, limx to 1^- f(x) = 4(1) + 1 = 5 . Como estamos vindo da esquerda de 1, usamos a parte da função definida para :
Então:
Explicando: substituímos por 1 na função porque estamos olhando para os valores à esquerda de 1.
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando f(x) = 3x - 2 se aproxima de 1 pela direita, ou seja, limx to 1^+ f(x) = 3(1) - 2 = 1 . Como estamos vindo da direita de 1, usamos a parte da função definida para :
Então:
Explicando: substituímos por 1 na função porque estamos olhando para os valores à direita de 1.
Passo 5
Para determinar se o limite geral limx to 1^- f(x) = 5 e limx to 1^+ f(x) = 1 existe, precisamos verificar se os limites laterais são iguais. No nosso caso:
Como 5 não é igual a 1, o limite geral não existe.
Passo 6
Vamos esboçar o gráfico da função :
Para : a função é . É uma reta com inclinação 4 e intercepto em 1.
Para : . Representamos esse ponto com um círculo aberto na reta anterior (valor que a função se aproxima pela esquerda, 5) e um ponto sólido em 2.
Para : a função é . É outra reta com inclinação 3 e intercepto em -2.
No ponto , há uma descontinuidade, pois os limites laterais não se coincidem e o valor da função está definido como 2, que é diferente dos limites laterais.
Resposta
limx to 1^- f(x) = 5, limx to 1^+ f(x) = 1, e o limite >=ral limx to 1 f(x) não existe ã