Usando o valor de a indicado para cada item, determine e caso exista, . Esboce o gráfico de .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de limites! A questão pede para determinar os limites laterais de uma função definida por partes quando se aproxima de 1 pela esquerda ( ) e pela direita ( ). Também queremos saber se o limite geral existe. Além disso, vamos esboçar o gráfico da função. Para isso, vamos precisar entender o que são limites laterais e como trabalhar com funções definidas por partes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as diferentes partes da função para :
Isso significa que a função tem três comportamentos diferentes dependendo do valor de .

Passo 3

Vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela esquerda, ou seja, . Como estamos vindo da esquerda de 1, usamos a parte da função definida para :
Então:
Explicando: substituímos por 1 na função porque estamos olhando para os valores à esquerda de 1.

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita, ou seja, . Como estamos vindo da direita de 1, usamos a parte da função definida para :
Então:
Explicando: substituímos por 1 na função porque estamos olhando para os valores à direita de 1.

Passo 5

Para determinar se o limite geral existe, precisamos verificar se os limites laterais são iguais. No nosso caso:
Como 5 não é igual a 1, o limite geral não existe.

Passo 6

Vamos esboçar o gráfico da função :
  1. Para : a função é . É uma reta com inclinação 4 e intercepto em 1.
  2. Para : . Representamos esse ponto com um círculo aberto na reta anterior (valor que a função se aproxima pela esquerda, 5) e um ponto sólido em 2.
  3. Para : a função é . É outra reta com inclinação 3 e intercepto em -2.
No ponto , há uma descontinuidade, pois os limites laterais não se coincidem e o valor da função está definido como 2, que é diferente dos limites laterais.

Resposta

ã

Exercícios relacionados

(1EE-2015.2) Determine se os limites abaixo existem e, em caso afirmativo, calcule os seus respectivos valores.
b.
Calcule os seguintes limites:
h. .
Verifique se a função é contínua em todos os pontos. Esboce o gráfico de .
Faça o esboço do gráfico de
e observe no gráfico o valor de . Há diferença entre e ? A função é contínua em $x=4 ?