1f
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
;

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos a função definida no intervalo . Nosso objetivo é determinar se essa função é par ou ímpar e, em seguida, calcular a sua série de Fourier. Para isso, vamos usar conceitos de simetria de funções e séries de Fourier, além de realizar alguns cálculos de integrais.

Passo 2

Vamos começar verificando se a função é par ou ímpar. Lembrando que:
  • Função Par:
  • Função Ímpar:
Calculando :
Como , a função é ímpar.

Passo 3

Como a função é ímpar, sua série de Fourier conterá apenas termos senoidais (sinais). A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo a é dada por:
Onde os coeficientes são calculados por:
Neste caso, , então a expressão simplifica para:

Passo 4

Como a função é ímpar e o seno também é ímpar, o produto das duas será uma função par. Isso nos permite simplificar a integral:

Passo 5

Para resolver a integral , vamos usar a técnica de integração por partes, que é dada por:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Precisamos agora resolver a integral . Aplicando novamente integração por partes:
Escolhemos:
Então:
Substituindo de volta na expressão anterior:

Passo 6

Agora, vamos avaliar a integral definida de a :
Substituindo e :
Para :
Sabemos que e , então:
Para :
Portanto:

Passo 7

Multiplicando por 2 para obter :
Simplificando os termos:

Resposta

Portanto, a série de Fourier da função no intervalo é dada por:

Exercícios relacionados

Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
2f
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
; série de senos, período .
2b
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
série de cossenos, período .
3b
Esboce os gráficos da extensão periódica par e da extensão periódica ímpar , ambas com período . Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
.