1f
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
;
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que precisamos fazer. Temos a função
definida no intervalo
. Nosso objetivo é determinar se essa função é par ou ímpar e, em seguida, calcular a sua série de Fourier. Para isso, vamos usar conceitos de simetria de funções e séries de Fourier, além de realizar alguns cálculos de integrais.
Passo 2
Vamos começar verificando se a função
é par ou ímpar. Lembrando que:
- Função Par:
- Função Ímpar:
Calculando
:
Como
, a função é ímpar.
Passo 3
Como a função é ímpar, sua série de Fourier conterá apenas termos senoidais (sinais). A série de Fourier para uma função ímpar no intervalo
a
é dada por:
Onde os coeficientes
são calculados por:
Neste caso,
, então a expressão simplifica para:
Passo 4
Como a função
é ímpar e o seno também é ímpar, o produto das duas será uma função par. Isso nos permite simplificar a integral:
Passo 5
Para resolver a integral
, vamos usar a técnica de integração por partes, que é dada por:
Escolhemos:
Aplicando a integração por partes:
Precisamos agora resolver a integral
. Aplicando novamente integração por partes:
Escolhemos:
Então:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 6
Agora, vamos avaliar a integral definida de
a
:
Substituindo
e
:
Para
:
Sabemos que
e
, então:
Para
:
Portanto:
Passo 7
Multiplicando por 2 para obter
:
Simplificando os termos:
Resposta
Portanto, a série de Fourier da função
no intervalo
é dada por:
Exercícios relacionados
Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
2f
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
;
série de senos, período
.
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
2b
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
série de cossenos, período
.
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
3b
Esboce os gráficos da extensão periódica par e da extensão periódica ímpar
, ambas com período
. Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
.
Esboce os gráficos da extensão periódica par