3b
Esboce os gráficos da extensão periódica par e da extensão periódica ímpar , ambas com período . Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida no intervalo :
O exercício solicita que esbocemos os gráficos das extensões periódicas par e ímpar , ambas com período . Além disso, precisamos encontrar as séries de Fourier usando cossenos para a extensão par e senos para a extensão ímpar.
Vamos precisar dos conceitos de extensões par e ímpar de uma função, bem como do cálculo das séries de Fourier para funções periódicas.

Passo 2

Extensão Periódica Par :
Uma extensão par de mantém a simetria em relação ao eixo . Isso significa que para todo , .
Como o período é , vamos estender para todo o eixo de forma que a função se repita a cada intervalo de unidades e seja par.
Extensão Periódica Ímpar :
Uma extensão ímpar de mantém a simetria em relação à origem. Isso significa que para todo , .
Similarmente, estenderemos para todo o eixo com período , garantindo que a função seja ímpar.

Passo 3

Esboçando os Gráficos:
  • Extensão Par : O gráfico de será simétrico em relação ao eixo . Então, para , será igual a .
  • Extensão Ímpar : O gráfico de será simétrico em relação à origem. Assim, para , .

Passo 4

Série de Fourier em Cossenos para :
Como é uma função par, sua série de Fourier será composta apenas por termos de cossenos:
Onde os coeficientes são calculados por:
Substituindo , simplificamos as integrais para calcular e .

Passo 5

Cálculo dos Coeficientes e :
Como é par, podemos integrar de a e multiplicar por 2:
Para :
Substituímos pela definição de e resolvemos as integrais.

Passo 6

Série de Fourier em Senos para :
Como é uma função ímpar, sua série de Fourier será composta apenas por termos de senos:
Onde os coeficientes são calculados por:
Novamente, substituindo , simplificamos as integrais para calcular .

Passo 7

Cálculo dos Coeficientes :
Como é ímpar, podemos integrar de a e multiplicar por 2:
Substituímos pela definição de e resolvemos as integrais.

Resposta

Após calcular os coeficientes , e , obtemos as séries de Fourier para as extensões periódicas par e ímpar :
  • Série de Fourier em Cossenos para :
  • Série de Fourier em Senos para :
Os coeficientes específicos , e são obtidos através das integrais apresentadas nos passos anteriores.

Exercícios relacionados

2b
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
série de cossenos, período .
1f
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
;
2c
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
série de senos, período .
3c
Esboce os gráficos da extensão periódica par e da extensão periódica ímpar , ambas com período . Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
;