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Esboce os gráficos da extensão periódica par e da extensão periódica ímpar , ambas com período . Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos. .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função definida no intervalo :
O exercício solicita que esbocemos os gráficos das extensões periódicas par e ímpar , ambas com período . Além disso, precisamos encontrar as séries de Fourier usando cossenos para a extensão par e senos para a extensão ímpar.
Vamos precisar dos conceitos de extensões par e ímpar de uma função, bem como do cálculo das séries de Fourier para funções periódicas.
Passo 2
Extensão Periódica Par :
Uma extensão par de mantém a simetria em relação ao eixo . Isso significa que para todo , .
Como o período é , vamos estender para todo o eixo de forma que a função se repita a cada intervalo de unidades e seja par.
Extensão Periódica Ímpar :
Uma extensão ímpar de mantém a simetria em relação à origem. Isso significa que para todo , .
Similarmente, estenderemos para todo o eixo com período , garantindo que a função seja ímpar.
Passo 3
Esboçando os Gráficos:
Extensão Par : O gráfico de será simétrico em relação ao eixo . Então, para , será igual a .
Extensão Ímpar : O gráfico de será simétrico em relação à origem. Assim, para , .
Passo 4
Série de Fourier em Cossenos para :
Como é uma função par, sua série de Fourier será composta apenas por termos de cossenos:
Onde os coeficientes são calculados por:
Substituindo , simplificamos as integrais para calcular e .
Passo 5
Cálculo dos Coeficientes e :
Como é par, podemos integrar de a e multiplicar por 2:
Para :
Substituímos pela definição de e resolvemos as integrais.
Passo 6
Série de Fourier em Senos para :
Como é uma função ímpar, sua série de Fourier será composta apenas por termos de senos:
Onde os coeficientes são calculados por:
Novamente, substituindo , simplificamos as integrais para calcular .
Passo 7
Cálculo dos Coeficientes :
Como é ímpar, podemos integrar de a e multiplicar por 2:
Substituímos pela definição de e resolvemos as integrais.
Resposta
Após calcular os coeficientes , e , obtemos as séries de Fourier para as extensões periódicas par e ímpar :
Série de Fourier em Cossenos para :
Série de Fourier em Senos para :
Os coeficientes específicos , e são obtidos através das integrais apresentadas nos passos anteriores.