3b
Esboce os gráficos da extensão periódica par
e da extensão periódica ímpar
, ambas com período
. Encontre as séries de Fourier em cossenos e em senos.
.
Esboce os gráficos da extensão periódica par
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
:
O exercício solicita que esbocemos os gráficos das extensões periódicas par
e ímpar
, ambas com período
. Além disso, precisamos encontrar as séries de Fourier usando cossenos para a extensão par e senos para a extensão ímpar.
Vamos precisar dos conceitos de extensões par e ímpar de uma função, bem como do cálculo das séries de Fourier para funções periódicas.
Passo 2
Extensão Periódica Par
:
Uma extensão par de
mantém a simetria em relação ao eixo
. Isso significa que para todo
,
.
Como o período é
, vamos estender
para todo o eixo
de forma que a função se repita a cada intervalo de
unidades e seja par.
Extensão Periódica Ímpar
:
Uma extensão ímpar de
mantém a simetria em relação à origem. Isso significa que para todo
,
.
Similarmente, estenderemos
para todo o eixo
com período
, garantindo que a função seja ímpar.
Passo 3
Esboçando os Gráficos:
-
Extensão Par
: O gráfico de será simétrico em relação ao eixo . Então, para , será igual a . -
Extensão Ímpar
: O gráfico de será simétrico em relação à origem. Assim, para , .
Passo 4
Série de Fourier em Cossenos para
:
Como
é uma função par, sua série de Fourier será composta apenas por termos de cossenos:
Onde os coeficientes são calculados por:
Substituindo
, simplificamos as integrais para calcular
e
.
Passo 5
Cálculo dos Coeficientes
e
:
Como
é par, podemos integrar de
a
e multiplicar por 2:
Para
:
Substituímos
pela definição de
e resolvemos as integrais.
Passo 6
Série de Fourier em Senos para
:
Como
é uma função ímpar, sua série de Fourier será composta apenas por termos de senos:
Onde os coeficientes são calculados por:
Novamente, substituindo
, simplificamos as integrais para calcular
.
Passo 7
Cálculo dos Coeficientes
:
Como
é ímpar, podemos integrar de
a
e multiplicar por 2:
Substituímos
pela definição de
e resolvemos as integrais.
Resposta
Após calcular os coeficientes
,
e
, obtemos as séries de Fourier para as extensões periódicas par
e ímpar
:
- Série de Fourier em Cossenos para
:
- Série de Fourier em Senos para
:
Os coeficientes específicos
,
e
são obtidos através das integrais apresentadas nos passos anteriores.