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Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos. série de cossenos, período .
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida no intervalo e queremos determinar a série de Fourier dessa função usando apenas cossenos, já que a série é de cossenos com período . Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções pares, já que estamos trabalhando com uma série de cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier de cossenos para uma função com período é dada por:
Aqui, é o termo constante e os são os coeficientes que multiplicam cada cosseno.
Passo 3
Para encontrar , usamos a fórmula:
Como no intervalo e, assumindo que a função é par para estender no período , o fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes para :
Novamente, considerando a paridade e que em , temos:
Sabemos que para qualquer inteiro , então todos os .
Passo 5
Portanto, a série de Fourier de cossenos para a função no intervalo dado é apenas o termo constante:
Isso significa que a série converge para em todos os pontos exceto nos pontos de descontinuidade, onde ela converge para a média dos limites laterais.
Passo 6
Para entender onde a série converge para a função original , notamos que é constante e igual a não coincide. Isso indica que a série de cossenos não está reproduzindo completamente a função original, o que ocorre porque a função dada não é par ou a extensão par escolhida não corresponde à função original em todo o período.
Resposta
A série de Fourier de cossenos para a função no intervalo e período é:
A série convergente é a função constante em todo o intervalo considerado. Graficamente, em um intervalo de três períodos, teremos uma linha reta em , que não coincide com a função original no intervalo .