2b
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
série de cossenos, período
.
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
e queremos determinar a série de Fourier dessa função usando apenas cossenos, já que a série é de cossenos com período
. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular os coeficientes da série de Fourier para funções pares, já que estamos trabalhando com uma série de cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que uma série de Fourier de cossenos para uma função
com período
é dada por:
Aqui,
é o termo constante e os
são os coeficientes que multiplicam cada cosseno.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Como
no intervalo
e, assumindo que a função é par para estender no período
, o
fica:
Passo 4
Agora, vamos calcular os coeficientes
para
:
Novamente, considerando a paridade e que
em
, temos:
Sabemos que
para qualquer inteiro
, então todos os
.
Passo 5
Portanto, a série de Fourier de cossenos para a função
no intervalo dado é apenas o termo constante:
Isso significa que a série converge para
em todos os pontos exceto nos pontos de descontinuidade, onde ela converge para a média dos limites laterais.
Passo 6
Para entender onde a série converge para a função original
, notamos que
é constante e igual a
não coincide. Isso indica que a série de cossenos não está reproduzindo completamente a função original, o que ocorre porque a função dada não é par ou a extensão par escolhida não corresponde à função original em todo o período.
Resposta
A série de Fourier de cossenos para a função
no intervalo
e período
é:
A série convergente é a função constante
em todo o intervalo considerado. Graficamente, em um intervalo de três períodos, teremos uma linha reta em
, que não coincide com a função original
no intervalo
.