Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função
e determinar a série de Fourier dessa função, sabendo que ela é periódica com período
, ou seja,
para todo
. Isso significa que a gente vai trabalhar com funções periódicas e usar a série de Fourier para representar essa função de forma trigonométrica.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o gráfico da função
com período
. Como a função é periódica, ela se repete a cada intervalo de
. No intervalo de
, por exemplo, a função vai variar de
até
, formando uma linha reta crescente. Ao repetir esse padrão a cada
, a função completa seu ciclo.
Passo 3
Agora, vamos para a série de Fourier. A série de Fourier de uma função periódica é uma soma infinita de senos e cossenos que, quando combinados, reproduzem a função original. Para funções ímpares ou pares, a série simplifica, mas no nosso caso,
é uma combinação de funções ímpares e constantes.
Passo 4
Na nossa função
, o termo
é uma função ímpar e
é uma constante (função par). A série de Fourier vai ter termos de seno (pela parte ímpar) e um termo constante (pela parte par). O termo constante é a média da função no intervalo considerado.
Passo 5
Vamos calcular o termo constante, que é dado por:
Substituindo
:
A integral de
de
a
é zero (já que é uma função ímpar), e a integral de
é
. Então:
Passo 6
Agora, vamos calcular os coeficientes dos senos, que representam a parte ímpar da função. Os coeficientes
são dados por:
Substituindo
:
A segunda integral, envolvendo
, é zero porque é uma função ímpar integrada sobre um intervalo simétrico. Então:
Passo 7
Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Seja
e
. Então,
e
. Aplicando integração por partes:
Avaliando de
a
:
Como
, o termo de seno desaparece, e temos:
Sabendo que
, então:
Passo 8
Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier de
é:
Resposta
A série de Fourier da função
com período
é:
Exercícios relacionados
2f
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
;
série de senos, período
.
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
Use o resultado do exercício (h) e prove que
1f
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
;
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
2b
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
série de cossenos, período
.
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.