Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente esboçar o gráfico da função e determinar a série de Fourier dessa função, sabendo que ela é periódica com período , ou seja, para todo . Isso significa que a gente vai trabalhar com funções periódicas e usar a série de Fourier para representar essa função de forma trigonométrica.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o gráfico da função com período . Como a função é periódica, ela se repete a cada intervalo de . No intervalo de , por exemplo, a função vai variar de até , formando uma linha reta crescente. Ao repetir esse padrão a cada , a função completa seu ciclo.

Passo 3

Agora, vamos para a série de Fourier. A série de Fourier de uma função periódica é uma soma infinita de senos e cossenos que, quando combinados, reproduzem a função original. Para funções ímpares ou pares, a série simplifica, mas no nosso caso, é uma combinação de funções ímpares e constantes.

Passo 4

Na nossa função , o termo é uma função ímpar e é uma constante (função par). A série de Fourier vai ter termos de seno (pela parte ímpar) e um termo constante (pela parte par). O termo constante é a média da função no intervalo considerado.

Passo 5

Vamos calcular o termo constante, que é dado por:
Substituindo :
A integral de de a é zero (já que é uma função ímpar), e a integral de é . Então:

Passo 6

Agora, vamos calcular os coeficientes dos senos, que representam a parte ímpar da função. Os coeficientes são dados por:
Substituindo :
A segunda integral, envolvendo , é zero porque é uma função ímpar integrada sobre um intervalo simétrico. Então:

Passo 7

Para resolver essa integral, usamos a integração por partes. Seja e . Então, e . Aplicando integração por partes:
Avaliando de a :
Como , o termo de seno desaparece, e temos:
Sabendo que , então:

Passo 8

Finalmente, juntando tudo, a série de Fourier de é:

Resposta

A série de Fourier da função com período é:

Exercícios relacionados

2f
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
; série de senos, período .
Use o resultado do exercício (h) e prove que
1f
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
;
2b
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
série de cossenos, período .