2f
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
; série de senos, período .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos que determinar a série de Fourier de senos para a função no intervalo e com período . Basicamente, vamos encontrar uma série que representa essa função e depois ver para onde essa série converge. Também vamos desenhar o gráfico dessa função em três períodos. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de senos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma série de Fourier de senos. É uma maneira de representar uma função periódica como uma soma infinita de funções senoidais (senos) com diferentes frequências e amplitudes. No nosso caso, como a função é definida em e queremos uma série de senos com período , vamos considerar a função como uma função ímpar estendida no intervalo .

Passo 3

Como estamos trabalhando com uma série de senos, que correspondem a funções ímpares, vamos estender para de forma ímpar. Isso significa que para , . Assim, a função completa no intervalo será:

Passo 4

Agora, para encontrar a série de Fourier de senos, precisamos calcular os coeficientes usando a fórmula:
Aqui, já que o período é . Então, a fórmula fica:

Passo 5

Vamos calcular a integral usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes :
Avaliada de a :
Já que .

Passo 6

Agora, substituindo de volta na expressão para :

Passo 7

Com os coeficientes encontrados, a série de Fourier de senos para a função é:

Passo 8

Agora, vamos ver para onde essa série converge. Como estamos usando uma série de Fourier, ela converge para a função original em todos os pontos onde a função é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites à esquerda e à direita.

Passo 9

Por fim, para esboçar o gráfico em um intervalo de três períodos, repetimos a função de a , de a , e assim por diante, para completar três períodos.

Resposta

A série de Fourier de senos para a função no intervalo com período é:
Essa série converge para a função original em todos os pontos contínuos e à média nos pontos de descontinuidade. O gráfico da função em três períodos apresenta uma forma de onda triangular, alternando entre as inclinações positivas e negativas de e .

Exercícios relacionados

Use o resultado do exercício (h) e prove que
Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
1f
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
;