2f
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
;
série de senos, período
.
Determinar a série de Fourier indicada para a função dada. Encontrar a função para a qual a série converge e escoçar seu gráfico em um intervalo de três períodos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos que determinar a série de Fourier de senos para a função
no intervalo
e com período
. Basicamente, vamos encontrar uma série que representa essa função e depois ver para onde essa série converge. Também vamos desenhar o gráfico dessa função em três períodos. Para resolver isso, vamos precisar usar os conceitos de séries de Fourier, especificamente a série de senos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma série de Fourier de senos. É uma maneira de representar uma função periódica como uma soma infinita de funções senoidais (senos) com diferentes frequências e amplitudes. No nosso caso, como a função é definida em
e queremos uma série de senos com período
, vamos considerar a função como uma função ímpar estendida no intervalo
.
Passo 3
Como estamos trabalhando com uma série de senos, que correspondem a funções ímpares, vamos estender
para
de forma ímpar. Isso significa que para
,
. Assim, a função completa no intervalo
será:
Passo 4
Agora, para encontrar a série de Fourier de senos, precisamos calcular os coeficientes
usando a fórmula:
Aqui,
já que o período é
. Então, a fórmula fica:
Passo 5
Vamos calcular a integral
usando integração por partes. Seja:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Avaliada de
a
:
Já que
.
Passo 6
Agora, substituindo de volta na expressão para
:
Passo 7
Com os coeficientes
encontrados, a série de Fourier de senos para a função
é:
Passo 8
Agora, vamos ver para onde essa série converge. Como estamos usando uma série de Fourier, ela converge para a função original
em todos os pontos onde a função é contínua. Nos pontos de descontinuidade, a série converge para a média dos limites à esquerda e à direita.
Passo 9
Por fim, para esboçar o gráfico em um intervalo de três períodos, repetimos a função
de
a
,
de
a
, e assim por diante, para completar três períodos.
Resposta
A série de Fourier de senos para a função
no intervalo
com período
é:
Essa série converge para a função original
em todos os pontos contínuos e à média nos pontos de descontinuidade. O gráfico da função em três períodos apresenta uma forma de onda triangular, alternando entre as inclinações positivas e negativas de
e
.
Exercícios relacionados
Use o resultado do exercício (h) e prove que
Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
1f
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
;
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.