Justifique as seguintes propriedades envolvendo funções periódicas:
Se forem funções periódicas de período então e constante fixada) serão periódicas de período .

Passo 1

Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções periódicas, e , ambas com período . A gente precisa mostrar que as funções , e (onde é uma constante real) também são periódicas com o mesmo período .

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função é periódica com período se, para todo no domínio de ,
Isso quer dizer que a função se repete a cada intervalo de comprimento .

Passo 3

Vamos começar analisando . Queremos mostrar que:
Como e ambos têm período , substituímos por e por . Assim, também tem período .

Passo 4

Agora, vamos ver . Precisamos mostrar que:
Da mesma forma que antes, usamos o fato de que e são periódicas com período . Multiplicando as duas igualdades, concluímos que também é periódica com período .

Passo 5

Por último, vamos analisar , onde é uma constante real. Queremos mostrar que:
Aqui, como tem período , substituímos por . Multiplicando por , vemos que também possui o período .

Resposta

Portanto, se e são funções periódicas de período , então , e também são periódicas de período .

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1j
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
.
1g
Determine se a função é par ou ímpar, e calcule sua série de Fourier.
Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
Use o resultado do exercício (h) e prove que