Justifique as seguintes propriedades envolvendo funções periódicas:
Se
forem funções periódicas de período
então
e
constante fixada) serão periódicas de período
.
Se
Passo 1
Beleza! Vamos lá entender o que a questão está pedindo. Temos duas funções periódicas,
e
, ambas com período
. A gente precisa mostrar que as funções
,
e
(onde
é uma constante real) também são periódicas com o mesmo período
.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser periódica. Uma função
é periódica com período
se, para todo
no domínio de
,
Isso quer dizer que a função se repete a cada intervalo de comprimento
.
Passo 3
Vamos começar analisando
. Queremos mostrar que:
Como
e
ambos têm período
, substituímos
por
e
por
. Assim,
também tem período
.
Passo 4
Agora, vamos ver
. Precisamos mostrar que:
Da mesma forma que antes, usamos o fato de que
e
são periódicas com período
. Multiplicando as duas igualdades, concluímos que
também é periódica com período
.
Passo 5
Por último, vamos analisar
, onde
é uma constante real. Queremos mostrar que:
Aqui, como
tem período
, substituímos
por
. Multiplicando por
, vemos que
também possui o período
.
Resposta
Portanto, se
e
são funções periódicas de período
, então
,
e
também são periódicas de período
.
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.
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1g
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Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
Use o resultado do exercício (h) e prove que