(7) Se
, em que
, mostre que
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função
, onde
. A matéria aqui envolve cálculo multivariável, mais especificamente derivadas parciais. Nosso objetivo é mostrar que a soma dos quadrados das derivadas parciais de
em relação a
,
e
é igual a
. Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e fazer algumas operações matemáticas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é
. Ela é a raiz quadrada da soma dos quadrados de
,
e
, ou seja:
Isso representa a distância do ponto
até a origem no espaço.
Passo 3
Agora, queremos encontrar as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
. Sabemos que:
Para derivar
em relação a
, usamos a regra da cadeia. A derivada de
em relação a
é:
E a derivada de
em relação a
é:
Então, aplicando a regra da cadeia:
De maneira semelhante, temos:
Passo 4
Agora que temos as derivadas parciais, precisamos calcular o quadrado de cada uma e somá-las:
Simplificando os sinais negativos e elevando ao quadrado:
Sabemos que
, então substituindo: