(7) Se w=1gamma, em que gamma=raizx^2+y^2+z^2, mostre que (partial wpartial x)^2+(partial wpartial y)^2+(partial wpartial z)^2=1gamma^4.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função , onde . A matéria aqui envolve cálculo multivariável, mais especificamente derivadas parciais. Nosso objetivo é mostrar que a soma dos quadrados das derivadas parciais de em relação a , e é igual a . Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e fazer algumas operações matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é gamma = raizx^2 + y^2 + z^2 . Ela é a raiz quadrada da soma dos quadrados de , e , ou seja:
Isso representa a distância do ponto até a origem no espaço.

Passo 3

Agora, queremos encontrar as derivadas parciais de w = 1gamma em relação a cada uma das variáveis dwdgamma = -1gamma^2 , partial gammapartial x = xgamma e partial wpartial x = dwdgamma cdot partial gammapartial x = -1gamma^2 cdot xgamma = -xgamma^3 . Sabemos que:
partial wpartial y = -ygamma^3 e partial wpartial z = -zgamma^3
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Então, aplicando a regra da cadeia:
De maneira semelhante, temos:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos calcular o quadrado de cada uma e somá-las:
( partial wpartial x )^2 + ( partial wpartial y )^2 + ( partial wpartial z )^2 = ( -xgamma^3 )^2 + ( -ygamma^3 )^2 + ( -zgamma^3 )^2
Simplificando os sinais negativos e elevando ao quadrado:
= x^2gamma^6 + y^2gamma^6 + z^2gamma^6 = x^2 + y^2 + z^2gamma^6
Sabemos que = gamma^2gamma^6 = 1gamma^4 , então substituindo:

Resposta

( partial wpartial x )^2 + ( partial wpartial y )^2 + ( partial wpartial z )^2 = 1gamma^4

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