(7) Se , em que , mostre que .

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma função , onde . A matéria aqui envolve cálculo multivariável, mais especificamente derivadas parciais. Nosso objetivo é mostrar que a soma dos quadrados das derivadas parciais de em relação a , e é igual a . Para isso, vamos precisar calcular essas derivadas e fazer algumas operações matemáticas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é . Ela é a raiz quadrada da soma dos quadrados de , e , ou seja:
Isso representa a distância do ponto até a origem no espaço.

Passo 3

Agora, queremos encontrar as derivadas parciais de em relação a cada uma das variáveis , e . Sabemos que:
Para derivar em relação a , usamos a regra da cadeia. A derivada de em relação a é:
E a derivada de em relação a é:
Então, aplicando a regra da cadeia:
De maneira semelhante, temos:

Passo 4

Agora que temos as derivadas parciais, precisamos calcular o quadrado de cada uma e somá-las:
Simplificando os sinais negativos e elevando ao quadrado:
Sabemos que , então substituindo:

Resposta

Exercícios relacionados

(4) e . Encontrar: e .
Nos exercícios de (1) a (5), encontre a derivada indicada, pelos dois métodos: (a) Use a regra da cadeia e depois faça a substituição. (b) Faça a substituição de e antes de diferenciar. (1) . Encontrar: e .
Suponha que cada uma das equações abaixo defina como uma função de e . Encontre e . Dados: (a)
Determine os pontos críticos de , onde:
(b) .