Suponha que cada uma das equações abaixo defina
como uma função de
e
. Encontre
e
. Dados: (a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação onde
é uma função de
e
:
O que a gente precisa encontrar são as derivadas parciais de
em relação a
e a
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para derivar funções que não estão resolvidas diretamente para uma variável.
Passo 2
Primeiro, vamos derivar a equação inteira em relação a
. Lembre-se que
é uma função de
, então quando a gente derivar termos que envolvem
, precisa aplicar a regra da cadeia.
Vamos derivar cada termo:
- Derivada de
em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
- Derivada de
em relação a :
Também aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia aqui.
- Derivada de
em relação a :
Essa é mais direta, só aplicamos a regra da cadeia.
Passo 3
Agora, vamos juntar tudo isso na equação derivada:
Simplificando um pouco, podemos fatorar
:
Passo 4
Agora, isolamos
:
Passo 5
Fazendo a mesma coisa para a derivada em relação a
, vamos derivar a equação original em relação a
:
Derivando cada termo:
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
- Derivada de
em relação a :
Passo 6
Juntando tudo na equação derivada:
Fatorando
:
Passo 7
Isolando
:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
(7) Se
, em que
, mostre que
.
(4)
e
. Encontrar:
e
.
Determine os pontos críticos de
, onde:
(b) .
(b)
Nos exercícios de (1) e (2), dado
, um ponto
e um vetor unitário
, encontre: (a) O gradiente de
em
.