Suponha que cada uma das equações abaixo defina z como uma função de x e y. Encontre partial zpartial x e partial zpartial y. Dados: (a) z cdot e^y z+2 x cdot e^x z-4 cdot e^x y=3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação onde z cdot e^y z + 2 x cdot e^x z - 4 cdot e^x y = 3 é uma função de e :
O que a gente precisa encontrar são as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para derivar funções que não estão resolvidas diretamente para uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação inteira em relação a partialpartial x ( z cdot e^y z ) = e^y z cdot partial zpartial x + z cdot e^y z cdot y cdot partial zpartial x . Lembre-se que partialpartial x ( 2 x cdot e^x z ) = 2 e^x z + 2 x cdot e^x z cdot ( z + x cdot partial zpartial x ) é uma função de partialpartial x ( -4 cdot e^x y ) = -4 y cdot e^x y , então quando a gente derivar termos que envolvem , precisa aplicar a regra da cadeia.
Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
  1. Derivada de em relação a :
Também aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia aqui.
  1. Derivada de em relação a :
Essa é mais direta, só aplicamos a regra da cadeia.

Passo 3

Agora, vamos juntar tudo isso na equação derivada:
e^y z cdot partial zpartial x + y z cdot e^y z cdot partial zpartial x + 2 e^x z + 2 x e^x z z + 2 x^2 e^x z cdot partial zpartial x - 4 y e^x y = 0
Simplificando um pouco, podemos fatorar ( e^y z + y z e^y z + 2 x^2 e^x z ) cdot partial zpartial x = -2 e^x z - 2 x e^x z z + 4 y e^x y :

Passo 4

Agora, isolamos partial zpartial x = -2 e^x z - 2 x e^x z z + 4 y e^x y e^y z (1 + y z) + 2 x^2 e^x z :

Passo 5

Fazendo a mesma coisa para a derivada em relação a partialpartial y ( z cdot e^y z ) = e^y z cdot partial zpartial y + z cdot e^y z cdot z + z cdot e^y z cdot y cdot partial zpartial y , vamos derivar a equação original em relação a partialpartial y ( 2 x cdot e^x z ) = 2 x e^x z cdot x cdot partial zpartial y = 2 x^2 e^x z cdot partial zpartial y :
Derivando cada termo:
  1. Derivada de partialpartial y ( -4 cdot e^x y ) = -4 x e^x y em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 6

Juntando tudo na equação derivada:
e^y z cdot partial zpartial y + y z e^y z cdot partial zpartial y + z^2 e^y z + 2 x^2 e^x z cdot partial zpartial y - 4 x e^x y = 0
Fatorando ( e^y z (1 + y z) + 2 x^2 e^x z ) cdot partial zpartial y = - z^2 e^y z + 4 x e^x y :

Passo 7

Isolando partial zpartial y = - z^2 e^y z + 4 x e^x y e^y z (1 + y z) + 2 x^2 e^x z :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -2 e^x z - 2 x e^x z z + 4 y e^x y e^y z (1 + y z) + 2 x^2 e^x z
e
partial zpartial y = - z^2 e^y z + 4 x e^x y e^y z (1 + y z) + 2 x^2 e^x z

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