Suponha que cada uma das equações abaixo defina como uma função de e . Encontre e . Dados: (a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma equação onde é uma função de e :
O que a gente precisa encontrar são as derivadas parciais de em relação a e a , ou seja, e . Para isso, vamos usar a diferenciação implícita, que é uma técnica para derivar funções que não estão resolvidas diretamente para uma variável.

Passo 2

Primeiro, vamos derivar a equação inteira em relação a . Lembre-se que é uma função de , então quando a gente derivar termos que envolvem , precisa aplicar a regra da cadeia.
Vamos derivar cada termo:
  1. Derivada de em relação a :
Aqui, usamos a regra do produto e a regra da cadeia.
  1. Derivada de em relação a :
Também aplicamos a regra do produto e a regra da cadeia aqui.
  1. Derivada de em relação a :
Essa é mais direta, só aplicamos a regra da cadeia.

Passo 3

Agora, vamos juntar tudo isso na equação derivada:
Simplificando um pouco, podemos fatorar :

Passo 4

Agora, isolamos :

Passo 5

Fazendo a mesma coisa para a derivada em relação a , vamos derivar a equação original em relação a :
Derivando cada termo:
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :
  1. Derivada de em relação a :

Passo 6

Juntando tudo na equação derivada:
Fatorando :

Passo 7

Isolando :

Resposta

As derivadas parciais são:
e

Exercícios relacionados

(7) Se , em que , mostre que .
(4) e . Encontrar: e .
Determine os pontos críticos de , onde:
(b) .
Nos exercícios de (1) e (2), dado , um ponto e um vetor unitário , encontre: (a) O gradiente de em .