(4)
e
. Encontrar:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
onde
e
são funções de
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
.
Vamos precisar usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais, que ajuda a relacionar as derivadas de funções compostas. Além disso, vamos precisar calcular as derivadas de
e
com respeito a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos achar
e
.
Para
:
Usamos a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:
Para
:
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
,
,
e
.
Dado que:
Calculando as derivadas:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Substituindo os valores que encontramos:
Factorizando
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Agora, para
:
Substituindo os valores:
Factorizando
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então: