(4) e . Encontrar: e .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função onde e são funções de e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .
Vamos precisar usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais, que ajuda a relacionar as derivadas de funções compostas. Além disso, vamos precisar calcular as derivadas de e com respeito a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se depende de e , que por sua vez dependem de e , então:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos achar e .
Para :
Usamos a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:
Para :
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular , , e .
Dado que:
Calculando as derivadas:
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar e .
Primeiro, para :
Substituindo os valores que encontramos:
Factorizando :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Agora, para :
Substituindo os valores:
Factorizando :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:

Resposta

Exercícios relacionados

Nos exercícios de (1) a (5), encontre a derivada indicada, pelos dois métodos: (a) Use a regra da cadeia e depois faça a substituição. (b) Faça a substituição de e antes de diferenciar. (1) . Encontrar: e .
(5) Encontre as derivadas parciais: para .
(7) Se , em que , mostre que .
Suponha que cada uma das equações abaixo defina como uma função de e . Encontre e . Dados: (a)