(4)
e
. Encontrar:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função
onde
e
são funções de
e
. Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
.
Vamos precisar usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais, que ajuda a relacionar as derivadas de funções compostas. Além disso, vamos precisar calcular as derivadas de
e
com respeito a
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se
depende de
e
, que por sua vez dependem de
e
, então:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.
Passo 3
Primeiro, vamos achar
e
.
Para
:
Usamos a regra do produto:
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:
Para
:
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:
Passo 4
Agora, vamos calcular
,
,
e
.
Dado que:
Calculando as derivadas:
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar
e
.
Primeiro, para
:
Substituindo os valores que encontramos:
Factorizando
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Agora, para
:
Substituindo os valores:
Factorizando
:
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:
Resposta
Exercícios relacionados
Nos exercícios de (1) a (5), encontre a derivada indicada, pelos dois métodos: (a) Use a regra da cadeia e depois faça a substituição. (b) Faça a substituição de
e
antes de diferenciar. (1)
. Encontrar:
e
.
(5) Encontre as derivadas parciais: para
.
(7) Se
, em que
, mostre que
.
Suponha que cada uma das equações abaixo defina
como uma função de
e
. Encontre
e
. Dados: (a)