(4) u=e^2 x+y cdot cos (2 y-x) ; x=2 s^2-t^2 e y=s^2+2 t^2. Encontrar: partial upartial s e partial upartial t.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma função onde e são funções de e . Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e .
Vamos precisar usar a Regra da Cadeia para derivadas parciais, que ajuda a relacionar as derivadas de funções compostas. Além disso, vamos precisar calcular as derivadas de e com respeito a e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a Regra da Cadeia para derivadas parciais. Se partial upartial s = partial upartial x cdot partial xpartial s + partial upartial y cdot partial ypartial s depende de partial upartial t = partial upartial x cdot partial xpartial t + partial upartial y cdot partial ypartial t e , que por sua vez dependem de e , então:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas passo a passo.

Passo 3

Primeiro, vamos achar u = e^2x + y cdot cos(2y - x) e partial upartial x = e^2x + y cdot partialpartial x[cos(2y - x)] + cos(2y - x) cdot partialpartial x[e^2x + y] .
Para partialpartial x[cos(2y - x)] = sin(2y - x) cdot 1 :
partialpartial x[e^2x + y] = 2e^2x + y
Usamos a regra do produto:
partial upartial x = e^2x + y cdot sin(2y - x) cdot 1 + cos(2y - x) cdot 2e^2x + y
Calculando as derivadas:
partial upartial x = e^2x + y [ sin(2y - x) + 2cos(2y - x) ]
partial upartial y = e^2x + y cdot partialpartial y[cos(2y - x)] + cos(2y - x) cdot partialpartial y[e^2x + y]
Então:
partialpartial y[cos(2y - x)] = -sin(2y - x) cdot 2
Simplificando:
partialpartial y[e^2x + y] = e^2x + y
Para partial upartial y = e^2x + y cdot (-2sin(2y - x)) + cos(2y - x) cdot e^2x + y :
partial upartial y = e^2x + y [ -2sin(2y - x) + cos(2y - x) ]
Calculando as derivadas:
Então:
Simplificando:

Passo 4

Agora, vamos calcular x = 2s^2 - t^2 , y = s^2 + 2t^2 , partial xpartial s = 4s e partial xpartial t = -2t .
Dado que:
partial ypartial s = 2s
partial ypartial t = 4t
Calculando as derivadas:
Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra da Cadeia para encontrar partial upartial s = partial upartial x cdot partial xpartial s + partial upartial y cdot partial ypartial s e partial upartial s = e^2x + y [ sin(2y - x) + 2cos(2y - x) ] cdot 4s + e^2x + y [ -2sin(2y - x) + cos(2y - x) ] cdot 2s .
Primeiro, para partial upartial s = e^2x + y cdot s [ 4(sin(2y - x) + 2cos(2y - x)) + 2(-2sin(2y - x) + cos(2y - x)) ] :
4sin(2y - x) + 8cos(2y - x) -4sin(2y - x) + 2cos(2y - x) = 10cos(2y - x)
Substituindo os valores que encontramos:
partial upartial s = 10s cdot e^2x + y cdot cos(2y - x)
Factorizando partial upartial t = partial upartial x cdot partial xpartial t + partial upartial y cdot partial ypartial t :
partial upartial t = e^2x + y [ sin(2y - x) + 2cos(2y - x) ] cdot (-2t) + e^2x + y [ -2sin(2y - x) + cos(2y - x) ] cdot 4t
Simplificando dentro dos colchetes:
partial upartial t = e^2x + y cdot t [ -2(sin(2y - x) + 2cos(2y - x)) + 4(-2sin(2y - x) + cos(2y - x)) ]
Então:
-2sin(2y - x) -4cos(2y - x) -8sin(2y - x) +4cos(2y - x) = -10sin(2y - x) -0cos(2y - x)
Agora, para partial upartial t = -10t cdot e^2x + y cdot sin(2y - x) :
Substituindo os valores:
Factorizando :
Simplificando dentro dos colchetes:
Então:

Resposta

partial upartial s = 10s cdot e^2x + y cdot cos(2y - x)
partial upartial t = -10t cdot e^2x + y cdot sin(2y - x)

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