Determine os pontos críticos de f, onde:
(b) f(x, y) = 2 * (x^2 + y^2) * e^(- (x^2 + y^2)).

Passo 1

Vamos resumir o problema: queremos encontrar os pontos críticos da função . Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais em relação a e , e encontrar onde elas são iguais a zero.

Passo 2

Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e .
A derivada parcial de em relação a é:
Usando a regra do produto (ou seja, ), onde e , temos:
Simplificando:
Fatorando :
De maneira semelhante, a derivada parcial de em relação a é:

Passo 3

Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Como nunca é zero, podemos simplificar dividindo ambos os lados por :

Passo 4

Agora, vamos resolver as equações:
  1. Primeiro caso: e
    Isso implica que:
  2. Segundo caso:
    Isso representa todos os pontos na circunferência de raio 1.

Passo 5

Com base nos casos resolvidos:
  1. Temos o ponto .
  2. Temos todos os pontos que satisfazem , ou seja, toda a circunferência de raio 1.

Resposta

Os pontos críticos da função são o ponto e todos os pontos na circunferência .

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