Determine os pontos críticos de
, onde:
(b)
.
(b)
Passo 1
Vamos resumir o problema: queremos encontrar os pontos críticos da função
. Para isso, vamos usar cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais em relação a
e
, e encontrar onde elas são iguais a zero.
Passo 2
Primeiro, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
.
A derivada parcial de
em relação a
é:
Usando a regra do produto (ou seja,
), onde
e
, temos:
Simplificando:
Fatorando
:
De maneira semelhante, a derivada parcial de
em relação a
é:
Passo 3
Para encontrar os pontos críticos, igualamos as derivadas parciais a zero:
Como
nunca é zero, podemos simplificar dividindo ambos os lados por
:
Passo 4
Agora, vamos resolver as equações:
-
Primeiro caso:
e Isso implica que: -
Segundo caso:Isso representa todos os pontos na circunferência de raio 1.
Passo 5
Com base nos casos resolvidos:
- Temos o ponto
. - Temos todos os pontos que satisfazem
, ou seja, toda a circunferência de raio 1.
Resposta
Os pontos críticos da função
são o ponto
e todos os pontos na circunferência
.