Nos exercícios de (1) a (5), encontre a derivada indicada, pelos dois métodos: (a) Use a regra da cadeia e depois faça a substituição. (b) Faça a substituição de x e y antes de diferenciar. (1) u=3 x^2+x y-2 y^2+3 x-y ; x=2 r-3 s, y=r+s. Encontrar: partial upartial r e partial upartial s.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função x = 2r - 3s, y = r + s onde e são funções de e :
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Vamos resolver isso usando dois métodos:
(a) Usando a regra da cadeia e depois fazendo a substituição.
(b) Fazendo a substituição de e antes de diferenciar.

Passo 2

Método (a): Regra da Cadeia
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia. Queremos encontrar partial upartial r = partial upartial x cdot partial xpartial r + partial upartial y cdot partial ypartial r e partial upartial s = partial upartial x cdot partial xpartial s + partial upartial y cdot partial ypartial s . A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Primeiro, encontramos as derivadas parciais de partial upartial x = 6x + y + 3 em relação a partial upartial y = x - 4y - 1 e partial xpartial r = 2, partial xpartial s = -3 :
partial ypartial r = 1, partial ypartial s = 1
Agora, encontramos as derivadas parciais de e em relação a e :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na regra da cadeia:
Para partial upartial r = (6x + y + 3) cdot 2 + (x - 4y - 1) cdot 1 :
partial upartial r = 12x + 2y + 6 + x - 4y - 1 = 13x - 2y + 5
Simplificando:
partial upartial s = (6x + y + 3) cdot (-3) + (x - 4y - 1) cdot 1
Para partial upartial s = -18x - 3y - 9 + x - 4y - 1 = -17x - 7y - 10 :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos substituir 13(2r - 3s) - 2(r + s) + 5 = 26r - 39s - 2r - 2s + 5 = 24r - 41s + 5 e -17(2r - 3s) - 7(r + s) - 10 = -34r + 51s - 7r - 7s - 10 = -41r + 44s - 10 nas expressões que encontramos:
Para :
Para :

Passo 6

Método (b): Substituição antes de Diferenciar
Aqui, a gente substitui u = 3(2r - 3s)^2 + (2r - 3s)(r + s) - 2(r + s)^2 + 3(2r - 3s) - (r + s) e u = (12r^2 - 36rs + 27s^2) + (2r^2 - rs - 3s^2) + (-2r^2 - 4rs - 2s^2) + (6r - 9s) + (-r - s) na função u = 12r^2 + 2r^2 - 2r^2 + (-36rs - rs - 4rs) + (27s^2 - 3s^2 - 2s^2) + 6r - r + (-9s - s) antes de derivar.
Substituindo:
u = 12r^2 - 41rs + 22s^2 + 5r - 10s
Vamos expandir cada termo:
Somando tudo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, derivamos partial upartial r = 24r - 41s + 5 em relação a partial upartial s = -41r + 44s - 10 e :

Resposta

As derivadas parciais são:
partial upartial r = 24r - 41s + 5
partial upartial s = -41r + 44s - 10

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