Nos exercícios de (1) a (5), encontre a derivada indicada, pelos dois métodos: (a) Use a regra da cadeia e depois faça a substituição. (b) Faça a substituição de
e
antes de diferenciar. (1)
. Encontrar:
e
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
onde
e
são funções de
e
:
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. Vamos resolver isso usando dois métodos:
(a) Usando a regra da cadeia e depois fazendo a substituição.
(b) Fazendo a substituição de e
antes de diferenciar.
(a) Usando a regra da cadeia e depois fazendo a substituição.
(b) Fazendo a substituição de
Passo 2
Método (a): Regra da Cadeia
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia. Queremos encontrar
e
. A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.
Passo 3
Primeiro, encontramos as derivadas parciais de
em relação a
e
:
Agora, encontramos as derivadas parciais de
e
em relação a
e
:
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na regra da cadeia:
Para
:
Simplificando:
Para
:
Simplificando:
Passo 5
Agora, vamos substituir
e
nas expressões que encontramos:
Para
:
Para
:
Passo 6
Método (b): Substituição antes de Diferenciar
Aqui, a gente substitui
e
na função
antes de derivar.
Substituindo:
Vamos expandir cada termo:
Somando tudo:
Simplificando:
Passo 7
Agora, derivamos
em relação a
e
:
Resposta
As derivadas parciais são:
Exercícios relacionados
(5) Encontre as derivadas parciais: para
.
Uma indústria vai produzir 10.000 caixas fechadas de papelão com dimensões de 3 cm , 4 cm e 5 cm . O custo do papelão a ser usado é de 50 centavos por
. Se as máquinas usadas para cortar os pedaços de papelão cometerem um erro possível de
em cada dimensão, encontrar aproximadamente o máximo erro possível na estimativa do custo do papelão.
(4)
e
. Encontrar:
e
.
(7) Se
, em que
, mostre que
.