Nos exercícios de (1) a (5), encontre a derivada indicada, pelos dois métodos: (a) Use a regra da cadeia e depois faça a substituição. (b) Faça a substituição de e antes de diferenciar. (1) . Encontrar: e .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função onde e são funções de e :
Nosso objetivo é encontrar as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . Vamos resolver isso usando dois métodos:
(a) Usando a regra da cadeia e depois fazendo a substituição.
(b) Fazendo a substituição de e antes de diferenciar.

Passo 2

Método (a): Regra da Cadeia
Primeiro, aplicamos a regra da cadeia. Queremos encontrar e . A regra da cadeia para derivadas parciais nos diz que:
Vamos calcular cada uma dessas derivadas.

Passo 3

Primeiro, encontramos as derivadas parciais de em relação a e :
Agora, encontramos as derivadas parciais de e em relação a e :

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na regra da cadeia:
Para :
Simplificando:
Para :
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos substituir e nas expressões que encontramos:
Para :
Para :

Passo 6

Método (b): Substituição antes de Diferenciar
Aqui, a gente substitui e na função antes de derivar.
Substituindo:
Vamos expandir cada termo:
Somando tudo:
Simplificando:

Passo 7

Agora, derivamos em relação a e :

Resposta

As derivadas parciais são:

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(5) Encontre as derivadas parciais: para .
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(4) e . Encontrar: e .
(7) Se , em que , mostre que .