Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar o gráfico de uma função periódica e determinar a sua série de Fourier. A função dada é
, que vale 1 quando
e 0 quando
. Além disso, ela se repete a cada
unidades de tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de Fourier e como calcular os coeficientes que representam nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o período da função. Como ela se repete a cada
, o período
é igual a
. A frequência fundamental
é dada por:
Isso vai nos ajudar a montar a série de Fourier.
Passo 3
Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier. Como nossa função é periódica e pode ser ímpar ou par, vamos verificar sua simetria. Observando
, vemos que ela é uma função par, porque
. Isso significa que a série de Fourier terá apenas termos de cosseno (coeficientes
) e possivelmente um termo constante
.
Passo 4
Vamos calcular o coeficiente
, que representa a média da função no período:
Como
de
a
e
de
a
, a integral fica:
Passo 5
Agora, vamos calcular os coeficientes
:
Substituindo
:
Resolvendo a integral:
Então, todos os
são iguais a zero.
Passo 6
Como os
são zero, a série de Fourier simplifica para apenas o termo constante
. Portanto, a série de Fourier da função
é:
Isso significa que nossa função pode ser representada apenas por um valor constante na série de Fourier.
Resposta
A série de Fourier da função
é: