Escoçar o gráfico e determinar a série de Fourier das seguintes funções:
f(t)=l1, se -L <= t<0, 0, se 0 <= t.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente desenhar o gráfico de uma função periódica e determinar a sua série de Fourier. A função dada é , que vale 1 quando e 0 quando . Além disso, ela se repete a cada unidades de tempo. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries de Fourier e como calcular os coeficientes que representam nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o período da função. Como ela se repete a cada omega0 = piL , o período é igual a . A frequência fundamental é dada por:
Isso vai nos ajudar a montar a série de Fourier.

Passo 3

Agora, vamos calcular os coeficientes da série de Fourier. Como nossa função é periódica e pode ser ímpar ou par, vamos verificar sua simetria. Observando , vemos que ela é uma função par, porque . Isso significa que a série de Fourier terá apenas termos de cosseno (coeficientes ) e possivelmente um termo constante .

Passo 4

Vamos calcular o coeficiente a0 = 12L integral-L^L f(t) , dt , que representa a média da função no período:
a0 = 12L ( integral-L^0 1 , dt + integral0^L 0 , dt ) = 12L cdot L = 12
Como de a e de a , a integral fica:

Passo 5

Agora, vamos calcular os coeficientes an = 1L integral-L^L f(t) cos(npi tL) , dt :
an = 1L integral-L^0 cos(npi tL) , dt
Substituindo an = 1L [ Lnpi sin(npi tL) ]-L^0 = 1npi ( sin(0) - sin(-npi) ) = 1npi (0 - 0) = 0 :
Resolvendo a integral:
Então, todos os são iguais a zero.

Passo 6

Como os f(t) = 12 são zero, a série de Fourier simplifica para apenas o termo constante . Portanto, a série de Fourier da função é:
Isso significa que nossa função pode ser representada apenas por um valor constante na série de Fourier.

Resposta

A série de Fourier da função f(t) = 12 é:

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