Se , então e são raízes da equação .

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos mostrar que os valores de e são raízes da equação quadrática .
Para resolver isso, vamos precisar usar a multiplicação de números complexos e as propriedades das equações quadráticas, especialmente a relação entre coeficientes e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos: . Lembre-se que para multiplicar dois números complexos do tipo , usamos a distributiva:
E sabemos que .

Passo 3

Aplicando isso na nossa expressão:
Simplificando cada termo:
Como , substituímos:
Agora, vamos agrupar as partes reais e as imaginárias:

Passo 4

Sabemos que isso é igual a . Então, podemos igualar as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Agora temos um sistema de equações:

Passo 5

Observamos que e satisfazem e . Essas são exatamente as relações que os coeficientes de uma equação quadrática satisfazem quando e são suas raízes.
A equação quadrática geral com raízes e é:
Substituindo e :

Resposta

Portanto, e são raízes da equação .

Exercícios relacionados

Seja um polinômio de grau . Se os coeficientes de são reais e é par, então , admite uma raiz real.
Se , então os polinômios e têm as mesmas raízes complexas não reais.
As raízes da equação estão em progressão aritmética de razão 1.
Se o polinômio tem as mesmas raízes que , então para todo número real .