Se
, então
e
são raízes da equação
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação
e precisamos mostrar que os valores de
e
são raízes da equação quadrática
.
Para resolver isso, vamos precisar usar a multiplicação de números complexos e as propriedades das equações quadráticas, especialmente a relação entre coeficientes e raízes.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos:
. Lembre-se que para multiplicar dois números complexos do tipo
, usamos a distributiva:
E sabemos que
.
Passo 3
Aplicando isso na nossa expressão:
Simplificando cada termo:
Como
, substituímos:
Agora, vamos agrupar as partes reais e as imaginárias:
Passo 4
Sabemos que isso é igual a
. Então, podemos igualar as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Agora temos um sistema de equações:
Passo 5
Observamos que
e
satisfazem
e
. Essas são exatamente as relações que os coeficientes de uma equação quadrática satisfazem quando
e
são suas raízes.
A equação quadrática geral com raízes
e
é:
Substituindo
e
:
Resposta
Portanto,
e
são raízes da equação
.
Exercícios relacionados
Seja
um polinômio de grau
. Se os coeficientes de
são reais e
é par, então
, admite uma raiz real.
Se
, então os polinômios
e
têm as mesmas raízes complexas não reais.
As raízes da equação
estão em progressão aritmética de razão 1.
Se o polinômio
tem as mesmas raízes que
, então
para todo número real
.