Se (1 + m i)(n - i) = 5 + 5 i, então m e n são raízes da equação x^2 + 5 x + 6 = 0.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos a equação e precisamos mostrar que os valores de m e n são raízes da equação quadrática .
Para resolver isso, vamos precisar usar a multiplicação de números complexos e as propriedades das equações quadráticas, especialmente a relação entre coeficientes e raízes.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos: . Lembre-se que para multiplicar dois números complexos do tipo , usamos a distributiva:
E sabemos que .

Passo 3

Aplicando isso na nossa expressão:
Simplificando cada termo:
Como , substituímos:
Agora, vamos agrupar as partes reais e as imaginárias:

Passo 4

Sabemos que isso é igual a . Então, podemos igualar as partes reais e imaginárias:
Parte real:
Parte imaginária:
Agora temos um sistema de equações:

Passo 5

Observamos que m e n satisfazem e . Essas são exatamente as relações que os coeficientes de uma equação quadrática satisfazem quando m e n são suas raízes.
A equação quadrática geral com raízes m e n é:
Substituindo e :

Resposta

Portanto, m e n são raízes da equação .

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