Se
, então os polinômios
e
têm as mesmas raízes complexas não reais.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos o polinômio
e uma afirmação de que os polinômios
e
têm as mesmas raízes complexas não reais. Nosso objetivo aqui é entender como esses polinômios podem ter as mesmas raízes e o que precisamos para chegar a isso. Vamos trabalhar com conceitos de álgebra, especificamente sobre raízes de polinômios e números complexos.
Passo 2
Vamos começar encontrando as raízes do polinômio
. Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que nos ajuda a encontrar as raízes de uma equação quadrática da forma
:
Aqui,
,
e
.
Passo 3
Agora, vamos calcular o discriminante
:
Como o discriminante é negativo (
), sabemos que as raízes são números complexos não reais.
Passo 4
Continuando, substituímos os valores na fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes de
são
e
.
Passo 5
Como queremos que
tenha as mesmas raízes complexas não reais que
, podemos construir
usando essas raízes. Sabemos que se
e
são raízes de um polinômio, então o polinômio pode ser escrito como:
Onde
é um número real não nulo. Vamos assumir
para simplificar.
Passo 6
Substituindo as raízes de
em
, temos:
Vamos multiplicar esses fatores:
Passo 7
Usando a propriedade de multiplicação de binômios conjugados
, onde
e
, temos:
Resposta
Portanto, o polinômio
que tem as mesmas raízes complexas não reais que
é: