Se m(x) = x^2 - 2x + 5, então os polinômios p(x) e m(x) têm as mesmas raízes complexas não reais.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está nos dizendo. Temos o polinômio e uma afirmação de que os polinômios e têm as mesmas raízes complexas não reais. Nosso objetivo aqui é entender como esses polinômios podem ter as mesmas raízes e o que precisamos para chegar a isso. Vamos trabalhar com conceitos de álgebra, especificamente sobre raízes de polinômios e números complexos.

Passo 2

Vamos começar encontrando as raízes do polinômio . Para isso, usamos a fórmula de Bhaskara, que nos ajuda a encontrar as raízes de uma equação quadrática da forma :
Aqui, , e .

Passo 3

Agora, vamos calcular o discriminante :
Como o discriminante é negativo ( ), sabemos que as raízes são números complexos não reais.

Passo 4

Continuando, substituímos os valores na fórmula de Bhaskara:
Então, as raízes de são e .

Passo 5

Como queremos que tenha as mesmas raízes complexas não reais que , podemos construir usando essas raízes. Sabemos que se e são raízes de um polinômio, então o polinômio pode ser escrito como:
Onde é um número real não nulo. Vamos assumir para simplificar.

Passo 6

Substituindo as raízes de em , temos:
Vamos multiplicar esses fatores:

Passo 7

Usando a propriedade de multiplicação de binômios conjugados , onde e , temos:

Resposta

Portanto, o polinômio que tem as mesmas raízes complexas não reais que é:

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