Seja um polinômio de grau . Se os coeficientes de são reais e é par, então , admite uma raiz real.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que um polinômio com coeficientes reais e de grau par sempre tem pelo menos uma raiz real. Para resolver isso, vamos usar conceitos de análise de funções e o Teorema do Valor Intermediário. Vamos precisar entender como os polinômios se comportam quando tende ao infinito e aplicar o teorema para concluir que existe um ponto onde .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um polinômio de grau é da forma:
onde e todos os são números reais.

Passo 3

Como o grau é par, vamos analisar o comportamento de quando vai para e . Para grandes valores de , o termo dominante é .

Passo 4

Se , então:
Se , então:
Isso significa que, em ambos os casos, os valores de se dirigem na mesma direção quando tende a e .

Passo 5

Agora, vamos pensar no gráfico de . Como o grau é par, o gráfico terá “extremidades” que apontam na mesma direção (ambas para cima ou ambas para baixo). Mas, como um polinômio contínuo, ele deve alcançar valores mínimos ou máximos.

Passo 6

Precisamos garantir que, em algum ponto, cruze o eixo . Para isso, consideremos que atinge um valor mínimo ou máximo no seu domínio. Se esse valor for zero, então já temos uma raiz. Se não for, dependendo do sinal, podemos usar o Teorema do Valor Intermediário.

Passo 7

O Teorema do Valor Intermediário diz que se uma função contínua tem valores de sinais opostos em dois pontos, então existe pelo menos um ponto onde . Como tende para ou em ambas as direções, e atinge um valor mínimo ou máximo, necessariamente deve cruzar o eixo , o que garante pelo menos uma raiz real.

Resposta

Portanto, todo polinômio de coeficientes reais e grau par possui pelo menos uma raiz real.

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Se , então os polinômios e têm as mesmas raízes complexas não reais.
Estudar, no que se refere a máximos e mínimos, as seguintes funções:
Se , então e são raízes da equação .
As raízes da equação estão em progressão aritmética de razão 1.