Se o polinômio tem as mesmas raízes que , então para todo número real .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão diz que se os polinômios e têm as mesmas raízes, então para todo número real . Vamos trabalhar com o conteúdo de polinômios e suas raízes. Para resolver isso, precisamos entender como os polinômios se relacionam com suas raízes e se ter as mesmas raízes realmente faz com que dois polinômios sejam iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que são raízes de um polinômio. Uma raiz de um polinômio é um número tal que . Se dois polinômios têm as mesmas raízes, isso significa que eles se anulam nos mesmos valores de .

Passo 3

Agora, sabemos que um polinômio pode ser fatorado em termos de suas raízes. Por exemplo, se tem raízes , podemos escrever:
onde é o coeficiente líder do polinômio.

Passo 4

Aplicando isso aos polinômios e que têm as mesmas raízes, podemos escrever:
Aqui, e são os coeficientes l��deres de e , respectivamente.

Passo 5

Observamos que a única diferença entre e está nos coeficientes e . A estrutura dos polinômios é a mesma, apenas escalada por um fator constante.

Passo 6

Portanto, a menos que , os polinômios e não serão exatamente iguais para todo . Eles terão a mesma forma e as mesmas raízes, mas valores diferentes devido aos coeficientes diferentes.

Resposta

Não, a afirmação é falsa. Ter as mesmas raízes não garante que os polinômios sejam exatamente iguais; eles podem diferir por um múltiplo constante.

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, onde