Se o polinômio
tem as mesmas raízes que
, então
para todo número real
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão diz que se os polinômios
e
têm as mesmas raízes, então
para todo número real
. Vamos trabalhar com o conteúdo de polinômios e suas raízes. Para resolver isso, precisamos entender como os polinômios se relacionam com suas raízes e se ter as mesmas raízes realmente faz com que dois polinômios sejam iguais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que são raízes de um polinômio. Uma raiz de um polinômio
é um número
tal que
. Se dois polinômios têm as mesmas raízes, isso significa que eles se anulam nos mesmos valores de
.
Passo 3
Agora, sabemos que um polinômio pode ser fatorado em termos de suas raízes. Por exemplo, se
tem raízes
, podemos escrever:
onde
é o coeficiente líder do polinômio.
Passo 4
Aplicando isso aos polinômios
e
que têm as mesmas raízes, podemos escrever:
Aqui,
e
são os coeficientes l��deres de
e
, respectivamente.
Passo 5
Observamos que a única diferença entre
e
está nos coeficientes
e
. A estrutura dos polinômios é a mesma, apenas escalada por um fator constante.
Passo 6
Portanto, a menos que
, os polinômios
e
não serão exatamente iguais para todo
. Eles terão a mesma forma e as mesmas raízes, mas valores diferentes devido aos coeficientes diferentes.
Resposta
Não, a afirmação é falsa. Ter as mesmas raízes não garante que os polinômios sejam exatamente iguais; eles podem diferir por um múltiplo constante.
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As raízes da equação
estão em progressão aritmética de razão 1.
Se
, então
e
são raízes da equação
.
Se duas das raízes da equação
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Calcule as integrais duplas e triplas.
, onde