As raízes da equação estão em progressão aritmética de razão 1.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação cúbica e sabemos que as raízes dessa equação estão em progressão aritmética com razão 1. Isso significa que as raízes formam uma sequência onde cada termo é 1 unidade maior que o anterior. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de equações polinomiais e propriedades de progressões aritméticas.

Passo 2

Como as raízes estão em progressão aritmética de razão 1, podemos representar as três raízes como , e , onde é o termo do meio. Essa representação simplifica a aplicação das propriedades das raízes de um polinômio.

Passo 3

Sabemos que, para um polinômio cúbico com raízes , e , temos as seguintes relações:
  1. Soma das raízes:
  2. Soma dos produtos das raízes:
  3. Produto das raízes:
No nosso caso, o polinômio é , então:

Passo 4

Vamos substituir as raízes , e nas relações acima.
  1. Soma das raízes:
  2. Soma dos produtos das raízes:
    Sabemos que isso é igual a 23:
    Parece que houve um erro. Vamos recalcular:
    O que não coincide com 23. Isso indica que a suposição inicial pode estar incorreta. Vamos reconsiderar.

Passo 5

Vamos verificar se a representação das raízes está correta. Talvez as raízes não sejam , e , mas sim , e , onde é a razão da progressão. Porém, conforme o enunciado, a razão é 1, então devemos manter .
No entanto, o cálculo anterior indicou uma inconsistência. Vamos tentar outra abordagem: suponha que as raízes sejam , e , e recalcular as relações.
  1. Soma das raízes:
  2. Soma dos produtos das raízes:
    Ainda não coincide com 23. Isso significa que provavelmente as raízes não estão simetricamente distribuídas em torno de . Vamos tentar outra representação.
Vamos representar as raízes como , e , mantendo a diferença de 1 entre elas.
  1. Soma das raízes:
  2. Soma dos produtos das raízes:
    Substituindo :
    Novamente, não coincide com 23. Há algo errado na nossa abordagem.

Resposta

Após revisar os cálculos, percebemos que a configuração inicial das raízes em progressão aritmética com razão 1 não satisfaz as condições do polinômio dado. Portanto, não existem raízes reais dessa equação que estejam em progressão aritmética de razão 1.

Exercícios relacionados

Se , então e são raízes da equação .
Seja um polinômio de grau . Se os coeficientes de são reais e é par, então , admite uma raiz real.
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Se duas das raízes da equação são -3 e -4, então o produto entre as outras duas raízes é 4.