As raízes da equação
estão em progressão aritmética de razão 1.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o problema está pedindo. Temos uma equação cúbica
e sabemos que as raízes dessa equação estão em progressão aritmética com razão 1. Isso significa que as raízes formam uma sequência onde cada termo é 1 unidade maior que o anterior. Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de equações polinomiais e propriedades de progressões aritméticas.
Passo 2
Como as raízes estão em progressão aritmética de razão 1, podemos representar as três raízes como
,
e
, onde
é o termo do meio. Essa representação simplifica a aplicação das propriedades das raízes de um polinômio.
Passo 3
Sabemos que, para um polinômio cúbico
com raízes
,
e
, temos as seguintes relações:
- Soma das raízes:
- Soma dos produtos das raízes:
- Produto das raízes:
No nosso caso, o polinômio é
, então:
Passo 4
Vamos substituir as raízes
,
e
nas relações acima.
-
Soma das raízes:
-
Soma dos produtos das raízes:Sabemos que isso é igual a 23:Parece que houve um erro. Vamos recalcular:O que não coincide com 23. Isso indica que a suposição inicial pode estar incorreta. Vamos reconsiderar.
Passo 5
Vamos verificar se a representação das raízes está correta. Talvez as raízes não sejam
,
e
, mas sim
,
e
, onde
é a razão da progressão. Porém, conforme o enunciado, a razão é 1, então devemos manter
.
No entanto, o cálculo anterior indicou uma inconsistência. Vamos tentar outra abordagem: suponha que as raízes sejam
,
e
, e recalcular as relações.
-
Soma das raízes:
-
Soma dos produtos das raízes:Ainda não coincide com 23. Isso significa que provavelmente as raízes não estão simetricamente distribuídas em torno de
. Vamos tentar outra representação.
Vamos representar as raízes como
,
e
, mantendo a diferença de 1 entre elas.
-
Soma das raízes:
-
Soma dos produtos das raízes:Substituindo
: Novamente, não coincide com 23. Há algo errado na nossa abordagem.
Resposta
Após revisar os cálculos, percebemos que a configuração inicial das raízes em progressão aritmética com razão 1 não satisfaz as condições do polinômio dado. Portanto, não existem raízes reais dessa equação que estejam em progressão aritmética de razão 1.
Exercícios relacionados
Se
, então
e
são raízes da equação
.
Seja
um polinômio de grau
. Se os coeficientes de
são reais e
é par, então
, admite uma raiz real.
Se o polinômio
tem as mesmas raízes que
, então
para todo número real
.
Se duas das raízes da equação
são -3 e -4, então o produto entre as outras duas raízes é 4.