(a) (1pt) Mostre que W1 e W2 são subespaços vetoriais de R^4.

Passo 1

Então, a questão pede para a gente mostrar que e são subespaços vetoriais de . Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais condições precisamos verificar para confirmar isso. Vamos precisar usar os conceitos de vetor nulo, fechamento em relação à adição e ao produto por escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto de é um subespaço vetorial se satisfizer três condições:
  1. Contém o vetor nulo: O vetor precisa estar em .
  2. Fechado por adição: Se e estão em , então também está em .
  3. Fechado por multiplicação por escalar: Se está em e é um escalar, então também está em .
Vamos aplicar essas condições para e depois para .

Passo 3

Verificando :
  1. Vetor nulo: Verificamos se o vetor está em . Geralmente, o vetor nulo está presente em qualquer subespa��o.
  2. Fechamento por adição: Tomamos dois vetores quaisquer e em e verificamos se também está em .
  3. Fechamento por escalar: Tomamos um vetor em e um escalar , e verificamos se está em .
Se todas essas condições forem verdadeiras, então é um subespaço vetorial.

Passo 4

Verificando :
  1. Vetor nulo: Confirmamos que está em .
  2. Fechamento por adição: Pegamos dois vetores e em e checamos se também está em .
  3. Fechamento por escalar: Pegamos um vetor em e um escalar , e verificamos se está em .
Se todas essas condições forem satisfeitas, então também é um subespaço vetorial.

Resposta

Assim, ao verificar que tanto quanto contêm o vetor nulo, são fechados por adição e por multiplicação por escalar, podemos concluir que e são subespaços vetoriais de .

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