(a) (1pt) Mostre que
e
são subespaços vetoriais de
.
Passo 1
Então, a questão pede para a gente mostrar que
e
são subespaços vetoriais de
. Isso envolve entender o que é um subespaço vetorial e quais condições precisamos verificar para confirmar isso. Vamos precisar usar os conceitos de vetor nulo, fechamento em relação à adição e ao produto por escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um subespaço vetorial. Um subconjunto
de
é um subespaço vetorial se satisfizer três condições:
- Contém o vetor nulo: O vetor
precisa estar em . - Fechado por adição: Se
e estão em , então também está em . - Fechado por multiplicação por escalar: Se
está em e é um escalar, então também está em .
Vamos aplicar essas condições para
e depois para
.
Passo 3
Verificando
:
- Vetor nulo: Verificamos se o vetor
está em . Geralmente, o vetor nulo está presente em qualquer subespa��o. - Fechamento por adição: Tomamos dois vetores quaisquer
e em e verificamos se também está em . - Fechamento por escalar: Tomamos um vetor
em e um escalar , e verificamos se está em .
Se todas essas condições forem verdadeiras, então
é um subespaço vetorial.
Passo 4
Verificando
:
- Vetor nulo: Confirmamos que
está em . - Fechamento por adição: Pegamos dois vetores
e em e checamos se também está em . - Fechamento por escalar: Pegamos um vetor
em e um escalar , e verificamos se está em .
Se todas essas condições forem satisfeitas, então
também é um subespaço vetorial.
Resposta
Assim, ao verificar que tanto
quanto
contêm o vetor nulo, são fechados por adição e por multiplicação por escalar, podemos concluir que
e
são subespaços vetoriais de
.