Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(h) (rrr1 & 2 & 1 0 & 3 & 1 0 & 5 & -1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar uma matriz específica. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, focando em autovalores, autoespaços, determinantes e traços usando autovalores. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores da matriz, encontrar os autoespaços correspondentes, identificar um autovetor para cada autovalor, além de trabalhar com inversas e potências da matriz. Também vamos usar fórmulas que relacionam determinantes e traços com os autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são números que, quando multiplicados por um vetor (autovetor), mantêm a direção desse vetor após a aplicação da matriz.
Nossa matriz é:
A = 1 & 2 & 1 0 & 3 & 1 0 & 5 & -1
Para encontrar os autovalores, resolvemos o determinante de det(A - lambda I) = 0 igual a zero:
det 1-lambda & 2 & 1 0 & 3-lambda & 1 0 & 5 & -1-lambda = 0
Calculando:
(1-lambda)[(3-lambda)(-1-lambda) - 5 cdot 1] = 0
Expandindo o determinante:
(1-lambda)[(-3 - 3lambda + lambda + lambda^2) - 5] = 0
Simplificando:
(1-lambda)(lambda^2 - 2lambda - 8) = 0
(1-lambda)(lambda^2 - 2lambda -8) = 0
Resolvendo a equação:
lambda1 = 1, lambda2 = 4, lambda3 = -2
Os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autoespaços e autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para cada autovalor A - I = 0 & 2 & 1 0 & 2 & 1 0 & 5 & -2 , resolvemos 1 -1 2 .
Para A - 4I = -3 & 2 & 1 0 & -1 & 1 0 & 5 & -5 :
1 1 1
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de A + 2I = 3 & 2 & 1 0 & 5 & 1 0 & 5 & 1 .
Para -1 1 0 :
Resolvendo, os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, os autovetores são múltiplos de .

Passo 4

Vamos determinar os autovalores das inversas das matrizes. É importante saber que se lambda1' = 11 = 1, lambda2' = 14, lambda3' = 1-2 = -12 é um autovalor de , então é um autovalor de .
Portanto, os autovalores de são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovalores das quartas potências da matriz lambda1^4 = 1^4 = 1, lambda2^4 = 4^4 = 256, lambda3^4 = (-2)^4 = 16 . Quando elevamos a matriz a uma potência, os autovalores também são elevados a essa potência. Ou seja, se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Calculando:

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz usando os autovalores. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Então:
det(A) = lambda1 cdot lambda2 cdot lambda3 = 1 cdot 4 cdot (-2) = -8

Passo 7

Por fim, vamos encontrar o traço da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. Alternativamente, o traço também é a soma dos autovalores.
Calculando diretamente:
Traço = 1 + 3 + (-1) = 3 ç
Confirmando com os autovalores:
lambda1 + lambda2 + lambda3 = 1 + 4 + (-2) = 3

Resposta

I. Autovalores e autoespaços:
  • 1 -1 2 , autoespaço gerado por 1 1 1
  • -1 1 0 , autoespaço gerado por 1 -1 2
  • 1 1 1 , autoespaço gerado por -1 1 0
II. Autovetores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
III. Autovalores da inversa:
IV. Autovalores das quartas potências:
V. Determinante usando autovalores:
VI. Traço usando autovalores:
  • Traço = 3

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