Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(h)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar uma matriz específica. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, focando em autovalores, autoespaços, determinantes e traços usando autovalores. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores da matriz, encontrar os autoespaços correspondentes, identificar um autovetor para cada autovalor, além de trabalhar com inversas e potências da matriz. Também vamos usar fórmulas que relacionam determinantes e traços com os autovalores.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são números que, quando multiplicados por um vetor (autovetor), mantêm a direção desse vetor após a aplicação da matriz.
Nossa matriz é:
Para encontrar os autovalores, resolvemos o determinante de igual a zero:
Calculando:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Resolvendo a equação:
Os autovalores são:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os autoespaços e autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para cada autovalor , resolvemos .
Para :
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, os autovetores são múltiplos de .

Passo 4

Vamos determinar os autovalores das inversas das matrizes. É importante saber que se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Portanto, os autovalores de são:

Passo 5

Agora, vamos encontrar os autovalores das quartas potências da matriz . Quando elevamos a matriz a uma potência, os autovalores também são elevados a essa potência. Ou seja, se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Calculando:

Passo 6

Vamos calcular o determinante da matriz usando os autovalores. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Então:

Passo 7

Por fim, vamos encontrar o traço da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. Alternativamente, o traço também é a soma dos autovalores.
Calculando diretamente:
ç
Confirmando com os autovalores:

Resposta

I. Autovalores e autoespaços:
  • , autoespaço gerado por
  • , autoespaço gerado por
  • , autoespaço gerado por
II. Autovetores:
  • Para :
  • Para :
  • Para :
III. Autovalores da inversa:
IV. Autovalores das quartas potências:
V. Determinante usando autovalores:
VI. Traço usando autovalores:
  • Traço = 3

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