Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar uma matriz específica. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, focando em autovalores, autoespaços, determinantes e traços usando autovalores. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores da matriz, encontrar os autoespaços correspondentes, identificar um autovetor para cada autovalor, além de trabalhar com inversas e potências da matriz. Também vamos usar fórmulas que relacionam determinantes e traços com os autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são números que, quando multiplicados por um vetor (autovetor), mantêm a direção desse vetor após a aplicação da matriz.
Nossa matriz é:
A = 1 & 2 & 1 0 & 3 & 1 0 & 5 & -1
Para encontrar os autovalores, resolvemos o determinante de det(A - lambda I) = 0 igual a zero:
Agora, vamos encontrar os autoespaços e autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para cada autovalor A - I = 0 & 2 & 1 0 & 2 & 1 0 & 5 & -2 , resolvemos 1 -1 2 .
Para A - 4I = -3 & 2 & 1 0 & -1 & 1 0 & 5 & -5 :
1 1 1
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de A + 2I = 3 & 2 & 1 0 & 5 & 1 0 & 5 & 1 .
Para -1 1 0 :
Resolvendo, os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, os autovetores são múltiplos de .
Passo 4
Vamos determinar os autovalores das inversas das matrizes. É importante saber que se lambda1' = 11 = 1, lambda2' = 14, lambda3' = 1-2 = -12 é um autovalor de , então é um autovalor de .
Portanto, os autovalores de são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovalores das quartas potências da matriz lambda1^4 = 1^4 = 1, lambda2^4 = 4^4 = 256, lambda3^4 = (-2)^4 = 16 . Quando elevamos a matriz a uma potência, os autovalores também são elevados a essa potência. Ou seja, se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Calculando:
Passo 6
Vamos calcular o determinante da matriz usando os autovalores. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Então:
Por fim, vamos encontrar o traço da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. Alternativamente, o traço também é a soma dos autovalores.