Beleza, vamos resolver o exercício que pede para analisar uma matriz específica. O conteúdo aqui é de Álgebra Linear, focando em autovalores, autoespaços, determinantes e traços usando autovalores. Para resolver, vamos precisar calcular os autovalores da matriz, encontrar os autoespaços correspondentes, identificar um autovetor para cada autovalor, além de trabalhar com inversas e potências da matriz. Também vamos usar fórmulas que relacionam determinantes e traços com os autovalores.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os autovalores da matriz. Autovalores são números que, quando multiplicados por um vetor (autovetor), mantêm a direção desse vetor após a aplicação da matriz.
Nossa matriz é:
Para encontrar os autovalores, resolvemos o determinante de igual a zero:
Calculando:
Expandindo o determinante:
Simplificando:
Resolvendo a equação:
Os autovalores são:
Passo 3
Agora, vamos encontrar os autoespaços e autovetores correspondentes a cada autovalor.
Para cada autovalor , resolvemos .
Para :
Resolvendo, encontramos que os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, os autovetores são múltiplos de .
Para :
Resolvendo, os autovetores são múltiplos de .
Passo 4
Vamos determinar os autovalores das inversas das matrizes. É importante saber que se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Portanto, os autovalores de são:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os autovalores das quartas potências da matriz . Quando elevamos a matriz a uma potência, os autovalores também são elevados a essa potência. Ou seja, se é um autovalor de , então é um autovalor de .
Calculando:
Passo 6
Vamos calcular o determinante da matriz usando os autovalores. O determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores. Então:
Passo 7
Por fim, vamos encontrar o traço da matriz, que é a soma dos elementos da diagonal principal. Alternativamente, o traço também é a soma dos autovalores.