[A, 9] Prove que a soma de dois números pares quaisquer é sempre um número par. Podemos afirmar que este resultado é equivalente para números ímpares? Justifique.

Passo 1

Vamos lá! A questão pede para provar que a soma de dois números pares é sempre par e também verificar se isso vale para números ímpares. Vamos precisar entender o que são números pares e ímpares e usar um pouco de álgebra para resolver.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que um número par é qualquer número que pode ser escrito como , onde é um inteiro. Isso significa que ele é divisível por 2 sem deixar resto.

Passo 3

Vamos considerar dois números pares quaisquer. Chamemos eles de e , onde e são inteiros.

Passo 4

Agora, somamos esses dois números pares:
Veja que também é um inteiro, já que a soma de inteiros é inteiro.

Passo 5

A expressão mostra que a soma é igual a 2 vezes algum inteiro, o que significa que a soma é par.

Passo 6

Portanto, provamos que a soma de dois números pares é sempre um número par.

Passo 7

Agora, vamos ver se isso vale para números ímpares. Um número ímpar pode ser escrito como , onde é um inteiro.

Passo 8

Vamos considerar dois números ímpares quaisquer: e .

Passo 9

Somando esses dois números ímpares:
Novamente, é um inteiro.

Passo 10

A expressão mostra que a soma é igual a 2 vezes algum inteiro, o que significa que a soma é par.

Resposta

Sim, a soma de dois números pares é sempre um número par, e o mesmo acontece com dois números ímpares: a soma de dois ímpares também resulta em um número par.

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Para cada uma das matrizes dos itens (a), (b) ©, (g), (h) e (k) a seguir, determine:
I. Seus autovalores e respectivos autoespaços;
II. Exiba um autovetor para cada autovalor;
III. Os autovalores da suas respectivas inversas;
IV. Os autovalores das suas respectivas quartas potências;
V. Seu determinante, usando autovalores;
VI. Seu traço, usando autovalores.
(h)
Seja uma matriz e seja o polinômio característico de . Mostre que e que