(5) -1x^2 integral0^x e^t^2 d t+e^x^2x (6) 2 cos (x)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me enviou uma expressão matemática e quer entender como resolvê-la passo a passo. O conteúdo aqui envolve cálculo, especificamente derivadas e integrais. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação de funções que envolvem integrais e funções exponenciais.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a expressão que temos:
-1x^2 integral0^x e^t^2 , dt + e^x^2x
Nossa missão aqui é entender como derivar essa função em relação a .

Passo 3

Vamos começar diferenciando cada termo separadamente. A primeira parte é:
-1x^2 integral0^x e^t^2 , dt
Para derivar isso, usamos a regra do quociente e a regra da derivada de uma integral com limites variáveis.

Passo 4

A regra da derivada de uma integral com limite variável diz que:
ddx ( integrala(x)^b(x) f(t) , dt ) = f(b(x)) cdot b'(x) - f(a(x)) cdot a'(x)
No nosso caso, e^x^2 cdot 1 - 0 = e^x^2 e , então a derivada da integral fica:

Passo 5

Agora, aplicamos a regra do quociente para derivar -( ddx ( 1x^2 ) cdot integral0^x e^t^2 , dt + 1x^2 cdot ddx integral0^x e^t^2 , dt ) :
ddx ( 1x^2 ) = -2x^3
Derivando -( -2x^3 cdot integral0^x e^t^2 , dt + 1x^2 cdot e^x^2 ) = 2x^3 integral0^x e^t^2 , dt - e^x^2x^2 em relação a :
Então, a derivada da primeira parte fica:

Passo 6

Agora, vamos derivar a segunda parte da expressão original:
e^x^2x
Aplicamos a regra do quociente novamente:
ddx ( e^x^2x ) = 2x e^x^2 cdot x - e^x^2x^2 = 2x^2 e^x^2 - e^x^2x^2 = (2x^2 - 1)e^x^2x^2

Passo 7

Agora, juntando as derivadas das duas partes, temos:
2x^3 integral0^x e^t^2 , dt - e^x^2x^2 + (2x^2 - 1)e^x^2x^2
Simplificando os termos com 2x^3 integral0^x e^t^2 , dt + (2x^2 - 1 - 1)e^x^2x^2 = 2x^3 integral0^x e^t^2 , dt + 2x^2 - 2x^2 e^x^2 :
2x^3 integral0^x e^t^2 , dt + 2 e^x^2 cdot (1 - 1x^2)
Simplificando ainda mais:

Passo 8

Finalmente, se queremos igualar a derivada a 2x^3 integral0^x e^t^2 , dt + 2 e^x^2 (1 - 1x^2) = 2 cos(x) , podemos montar a equação:

Resposta

Após seguir os passos acima, a derivada da expressão dada resulta em:
2 cos(x)

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