Calcule a área das regiões R dadas. R = {(x, y) em R^2 : 0 <= x <= pi/2, -sen(x) <= y <= cos(x)}

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para calcular a área da região definida pelas inequações e . Vamos usar conceitos de cálculo integral para encontrar essa área.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma região no plano limitada por:
  • variando de a
  • entre e
Para encontrar a área dessa região, vamos integrar a diferença entre as funções superiores e inferiores em relação a .

Passo 3

A fórmula geral para a área entre duas curvas e de a é:
No nosso caso, a função superior é e a função inferior é .

Passo 4

Substituindo na fórmula, temos:

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral:
Sabemos que:
Portanto:

Passo 6

Aplicando os limites de integração de a :
Calculando os valores:
Substituindo:

Resposta

A área da região é igual a 2 unidades quadradas.

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Calcule a derivada das seguintes funções: F(x)=sin x+integral-pi^x cos t d t.
(4) sen(x) - x cos(x) + c (5) 2*x^3/3 - 2*ln(x) + c (6) x*(ln(x)-1)-2*sen(x)+c
(5) -1x^2 integral0^x e^t^2 d t+e^x^2x (6) 2 cos (x)