Resp.:
Resp.:
Passo 1
Beleza! Temos a equação diferencial
. Vamos resolver isso usando os conceitos de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente, verificando se a equação é exata. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma solução a partir disso.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão
. No nosso caso:
Passo 3
Uma equação é exata se a derivada parcial de
em relação a
for igual à derivada parcial de
em relação a
. Vamos calcular essas derivadas:
Como
(a menos que
, que não é o caso geral), a equação não é exata.
Passo 4
Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Procuramos uma função
que multiplique a equação original e a torne exata.
A condição para
é:
Após simplificar, descobrimos que
.
Passo 5
Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante
:
Agora, a equação é exata.
Passo 6
Como a equação agora é exata, existe uma função
tal que:
Integrando
em relação a
:
Onde
é uma função de
.
Passo 7
Derivamos
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, vemos que
não depende de
, então para que a igualdade seja válida:
Mas isso não faz sentido, indicando que houve um erro na escolha do fator integrante. Vamos simplificar a abordagem.
Passo 8
Vamos tentar resolver a equação original de outra forma. Reescrevendo a equação:
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis
e
:
Passo 9
Integrando ambos os lados:
Onde
é a constante de integração.
Passo 10
Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde
.
Passo 11
Aplicando a exponenciação para eliminar o logaritmo:
Onde
é uma constante geral.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
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e
, encontre os seguintes números: