x y dx - (1 + x^2) dy = 0
Resp.: C * y^2 = 1 + x^2

Passo 1

Beleza! Temos a equação diferencial . Vamos resolver isso usando os conceitos de equações diferenciais de primeira ordem, mais especificamente, verificando se a equação é exata. Para resolver, vamos precisar entender o que é uma equação exata e como encontrar uma solução a partir disso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação na forma padrão . No nosso caso:

Passo 3

Uma equação é exata se a derivada parcial de em relação a for igual à derivada parcial de em relação a . Vamos calcular essas derivadas:
Como (a menos que , que não é o caso geral), a equação não é exata.

Passo 4

Como a equação não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que torne a equação exata. Procuramos uma função que multiplique a equação original e a torne exata.
A condição para é:
Após simplificar, descobrimos que .

Passo 5

Multiplicamos toda a equação original pelo fator integrante :
Agora, a equação é exata.

Passo 6

Como a equação agora é exata, existe uma função tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de .

Passo 7

Derivamos em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, vemos que não depende de , então para que a igualdade seja válida:
Mas isso não faz sentido, indicando que houve um erro na escolha do fator integrante. Vamos simplificar a abordagem.

Passo 8

Vamos tentar resolver a equação original de outra forma. Reescrevendo a equação:
Essa é uma equação diferencial separável. Podemos separar as variáveis e :

Passo 9

Integrando ambos os lados:
Onde é a constante de integração.

Passo 10

Multiplicando ambos os lados por 2 para simplificar:
Onde .

Passo 11

Aplicando a exponenciação para eliminar o logaritmo:
Onde é uma constante geral.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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