Considere o campo vetorial F: R^3 -> R^3 definido por
F(x, y, z) = (e^z, 2yz, xe^z + y^2)
Mostre que o campo vetorial F é conservativo.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial definido no espaço tridimensional R^3. O objetivo é mostrar que esse campo vetorial é conservativo.
Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, ou seja, existe uma função tal que . Para verificar se um campo vetorial é conservativo, podemos usar o teste do rotacional: se o rotacional de F for igual a zero em todo o domínio, então F é conservativo.

Passo 2

Vamos calcular o rotacional de F, denotado por nabla vezes F. O rotacional é dado pela seguinte expressão:
Vamos identificar as componentes de F:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional.

Passo 3

Calculando a primeira componente do rotacional:
Então,

Passo 4

Calculando a segunda componente do rotacional:
Então,

Passo 5

Calculando a terceira componente do rotacional:
Então,

Passo 6

Agora, juntando todas as componentes calculadas do rotacional:
Como o rotacional de F é zero, concluímos que o campo vetorial F é conservativo.

Resposta

O campo vetorial é conservativo porque seu rotacional é zero em todo o domínio.

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