Considere o campo vetorial
definido por
Mostre que o campo vetorial
é conservativo.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um campo vetorial
definido no espaço tridimensional
. O objetivo é mostrar que esse campo vetorial é conservativo.
Um campo vetorial é conservativo se ele pode ser escrito como o gradiente de alguma função escalar, ou seja, existe uma função
tal que
. Para verificar se um campo vetorial é conservativo, podemos usar o teste do rotacional: se o rotacional de
for igual a zero em todo o domínio, então
é conservativo.
Passo 2
Vamos calcular o rotacional de
, denotado por
. O rotacional é dado pela seguinte expressão:
Vamos identificar as componentes de
:
Agora, vamos calcular cada componente do rotacional.
Passo 3
Calculando a primeira componente do rotacional:
Então,
Passo 4
Calculando a segunda componente do rotacional:
Então,
Passo 5
Calculando a terceira componente do rotacional:
Então,
Passo 6
Agora, juntando todas as componentes calculadas do rotacional:
Como o rotacional de
é zero, concluímos que o campo vetorial
é conservativo.
Resposta
O campo vetorial
é conservativo porque seu rotacional é zero em todo o domínio.